• Aucun résultat trouvé

Dans tout ce document, on se place dans un repère orthonormal, c'est-à-dire que les axes sont perpendiculaires et que l unité est la même sur les deux axes.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Dans tout ce document, on se place dans un repère orthonormal, c'est-à-dire que les axes sont perpendiculaires et que l unité est la même sur les deux axes. "

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

REPÈRES ET VECTEURS RAPPELS

Dans tout ce document, on se place dans un repère orthonormal, c'est-à-dire que les axes sont perpendiculaires et que l unité est la même sur les deux axes.

Définition : Un vecteur u non nul est la donnée de trois éléments : une direction (deux droites parallèles ont la même direction)

un sens

une longueur, appelée aussi norme.

Le vecteur défini par la direction ( AB ), le sens de A vers B et la longueur AB est noté AB . La norme du vecteur u est notée | | | u | .

Attention : le mot "direction" n a pas le même sens qu en français : ci- contre, u et v ont la même direction mais pas le même sens :

Définition : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Exemple :

Ici AB GH u

Sur ce schéma, il y a trois représentants d un seul vecteur.

Relation de Chasles : pour tous points A,B et C du plan, AB BC AC .

Attention : cela est vrai pour les vecteurs mais pas pour les longueurs (on n a pas AB BC AC )

Exemple à retenir :

Représenter sur la figure ci-dessous le vecteur u v :

Pour additionner deux vecteurs, on déplace le deuxième (un vecteur n’ayant pas d’emplacement précis) pour que son origine soit à l’extrémité du premier. On forme ainsi un parallélogramme :

Pour cela : on construit un représentant de v que l on met "au bout de

la flèche de u " puis on rejoint l origine de u et l extrémité du représentant construit :

Théorème (admis) : Les points A et B ont pour coordonnées respectives (x A y A ) et (x B y B ) et le vecteur u a pour coordonnées  

  x y . Alors :

le vecteur AB a pour coordonnées : AB

 

 

x B x A

y B y A le milieu I de [AB ] a pour coordonnées I

 

  x A x B

2

y A y B

2 La distance AB est AB ( x B x A ) 2 ( y B y A ) 2

la norme du vecteur u est | | | u | y ²

(2)

Remarque : on peut écrire les coordonnées des vecteurs en ligne ou en colonne mais on écrit celle des points en ligne.

Exemple

Si A(2 4) et B ( 3 5), alors AB  

  3 2

5 4 donc AB  

  5 1 .

AB ( 3 2) 2 (5 4) 2 26 ou AB | | AB | | ( 5)² 1² 26 .

Le milieu I de [AB ] a pour coordonnées

 

  3 2

2

5 4

2 , c'est-à-dire I

 

  1 2

9 2

Définition : Les vecteurs u et v sont colinéaires signifie qu ils ont même direction, c'est-à-dire qu il existe un réel k non nul tel que u k v .

u , v et w sont colinéaires.

a et b sont colinéaires.

Définition : Soient u et v deux vecteurs de coordonnées respectives (x ;y) et (x’ ;y’).

On appelle déterminant de u et v , noté det ( u v ) le réel det ( u v )  x x y y  xy yx

Exemple Si u  

  2

3 et v  

  3

2 , alors det ( u v )  

  2 3

3 2 2 2 ( 3) 34 9 13.

Théorème : Soient u et v deux vecteurs de coordonnées respectives (x ;y) et (x’ ;y’).

Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si det ( u v ) 0, c'est-à-dire ssi xy′−yx′ 0.

Dans l exemple ci-dessus, det ( u v ) 13  0 donc u et v ne sont pas colinéaires.

Application :

Soient les points : A(3 5), B(–1 8), C(3 0) et D ( 3 3).

1. Les points A, B et C sont-ils alignés ? Justifier.

2. Les droites (AB ) et ( C D) sont-elles parallèles ? Justifier.

Correction de l application : 1. On a AB  

  4

3 et BC  

  4

8 .

det ( AB AC ) 4 ( 8) 3 4 20  0 donc les vecteurs AB et BC ne sont pas colinéaires et les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. On a AB  

  4

3 et CD  

  6 3 .

det ( AB CD ) 4 ( 3) 3 ( 6) 30  0 donc les vecteurs AB et CD ne sont pas colinéaires

et les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.

Références

Documents relatifs

Pour la définition, voir séquence 8 symétrie axiale.. Méthode de construction 1) Prendre un écart de compas supérieur à la moitié de AB. 2) Mettre la pointe sèche du

Dans un repère orthonormal si deux droites non parallèles aux axes sont perpendiculaires alors le produit de leurs pentes est (-1). Dans un repère orthonormal, deux droites non

12 À partir de ton animal préféré, de ton loisir préféré ou d'une autre idée, dessine en couleur un logo personnel ayant un ou plusieurs axes de symétrie.. 13

Après avoir construit le symétrique d'un motif par rapport à un axe horizontal, combien d'axes de symétrie verticaux sont nécessaires pour obtenir 128 motifs au

Série 3 : Bissectrice d'un angle Série 3 : Bissectrice d'un angle Le cours avec les aides animées?. Le cours avec les aides

Je suis un quadrilatère qui a des diagonales perpendiculaires, de même longueur et qui se coupent en leur milieu donc je suis forcément un rectanglef.

Je suis un quadrilatère qui a des diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu donc je suis forcément un carréc. Combien peut- on tracer de carrés dont A est un

Parallèlement à ces travaux, d’autres étudiants du domaine de la conception mécanique assistée par ordinateur ont effectué une étude de faisabilité d’un