D1997. La saga de l’angle de 60
o(15ème épisode)
On trace deux cercles Γ1 et Γ2 symétriques l’un de l’autre par rapport à une corde commune BC. Soit un point A courant sur le cercleΓ1. On désigne par G et H le centre de gravité et l’orthocentre du triangle ABC. La droite AG coupe Γ1 en un deuxième point M. Soient N le point symétrique de M par rapport à BC et P le centre du cercle circonscrit au triangle GHN. Démontrer que le lieu de P quand A parcourt Γ1 est un cercle tangent àΓ2 si et seulement si l’angle BAC est égal à600 ou à son supplément 1200.
Dans le cas général, le lieu de Pest une courbe du 4ème degré.
Si Oest intérieur àΓ2 (BAC >\ 600 quandA est sur l’arc supérieur deΓ1), le lieu a 2 points à l’infini qui correspondent aux 2 positions oùH, G, OetN sont alignés.
Si Oest extérieur à Γ2, il a un point double enO’(centre deΓ2) quand GN est parallèle àBC.
Si Oest surΓ2, elle dégénère en un cercle et une droite double.
Démontrons d’abord une propriété qui ne semble pas avoir fait l’objet d’un épi- sode précédent de la saga : la bissectrice intérieure enAest perpendiculaire à la droite d’Euler siBAC\ = 600, et c’est la bissectrice extérieure siBAC\ = 1200. Dans un triangle ABC où B, C et O (centre du cercle circonscrit Γ1) sont fixes, lorsque A décrit Γ1, les intersections des bissectrices de BAC\ et de la
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droite d’Euler décrivent des cercles homothétiques deΓ1, l’un intérieur et l’autre extérieur, tangents aux intersections avec la médiatrice deBC. Dans le cas où BAC\ = 600, le cercle intérieur passe parOet le cercle extérieur dégénère en la droite tangente àΓ1enJ.
Démonstration :Oet Hsont conjugués isogonaux dansABC. Les bissectrices deBAC\ sont aussi celles deHAO. Quand\ Adécrit Γ1,H décritΓ2 :AHet OI sont constants, donc l’intersectionEdeAIet de la droite d’Euler décrit le cercle homothétique de Γ2 (centre O, rapport OE
OH = OI
OI+AH) ou de Γ1 (centreI, même rapport).
QuandBAC\ = 600,Oest surΓ2et le lieu deEest centré surBCet tangent àΓ1etΓ2, etAH = OI.La bissectrice AI est alors la médiatrice de OH.
On sait par ailleurs (cf D1996) queGH = GNquand BAC\ = 600, càd que G,Iet Psont sur la médiatrice deHN.
AI et la médiatrice de HG sont parallèles ; les relations sur la droite d’Euler font que la 2ème est homothétique de AI(centre G, rapport 2).P est donc symétrique de G par rapport à I.
QuandAdécritΓ1privé de Iet deJ,Gdécrit le cercle image deΓ1par l’ho- mothétie de centreDet de rapport 1/3, tangent àΓ2et àΓ3enO, etPdécrit le cercle symétrique par rapport à I, tangent àΓ2enK.
Lorsque Aest enIou enJ,Pest indéterminé sur la médiatrice deBC.
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