Trois cercles tri-tangents
Soit le triangle scal`ene ABC, I le centre de son cercle inscrit, Γ son cercle circonscrit, et un point D variable surBC.
Les tangentes `aΓparall`eles `aAD coupentBC enE et enF.
1/ Montrer qu’il existe un cercleΓ1de centreO1, tangent enE `aBC, tangent en P `aAD et tangent `aΓet un cercleΓ2de centre O2, tangent en F `aBC, tangent enQ `aADet tangent `aΓ
2/ Montrer queO1,O2 etI sont align´es
3/ Lieu du milieuR deP QquandD d´ecritBC
4/ S est le milieu de EF. Montrer que SR passe par un point fixe quand D d´ecritBC
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Lemme : Γ1et Γ2 sont 2 cercles d’un faisceau `a points de PonceletP etP0. SoitF =AC∩BD(AC tangente commune externe,BDtangente commune interne). Les polaires deF par rapport aux 2 cercles sont orthogonales en l’un des points de Poncelet.
En effet, le cercleΨ de diam`etreAC est orthogonal `a Γ1 etΓ2. Il passe donc parP etP0.
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Γ1est tangent `aΓ enJ. Γ2est tangent `aΓenK.
L’inversion par rapport au cercle Ψ de centre T (milieu de l’arc BC ne con- tenant pasA) et de rayon T B, ´echangeΓ avec la droite BC, et aussi E avec J,F avecK.
T E×T J = T F ×T K = T B2 : T est sur l’axe radical de Γ1 et Γ2, tout commeRmilieu deP Qet S milieu deEF, ce qui r´epond `a la question 4 : le point fixe deSRest T.
Γ1etΓ2, invariants dans l’inversion, sont orthogonaux `a Ψ: ils appartiennent
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a un faisceau `a points de Poncelet. En vertu du lemme pr´ec´edent, les polaires deDpar rapport `aΓ1 (EP) et par rapport `aΓ2(F Q) se croisent enI, point commun `a Ψ et au cercle de diam`etre EF. L’alignement O1O2I en d´ecoule directement.
Les tangentes au cercle inscrit sont les sym´etriques deBC par rapport aux 2 polaires; elles passent donc parE et F.
Q3/ Le lieu deRest la parall`ele `aBCpassant parIpuisqueIRest sym´etrique deISpar rapport `aIF (RetSmilieux de l’hypot´enuse des triangles semblables IP Qet IEF).
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