D1965 – Une trisection sous condition [** à la main]
Dans un triangle ABC, l’angle en B est compris entre 30° et 60° (bornes exclues) et il est inférieur à l’angle en C. La médiatrice de BC coupe le cercle de centre A et de rayon AC en un point D intérieur au triangle ABC. Démontrer que la droite AD et la médiatrice de CD réalisent une trisection de l’angle en A si et seulement si l’angle en C est le double de l’angle en B.
Source Crux mathematicorum Volume 24 n°7 pages 392 et suivantes
Solution
1ère condition : si angle en C = 2 fois angle en B, alors la trisection de l’angle en A est réalisée
On pose angle(ABC) = α, AC = b et AB = c. Il en découle angle(ACB) = 2α et angle(BAC) = π - 3α. Par ailleurs, on a l’identité b/sin(α) = c/sin(2α) ou encore 2bcos(α) = c
Soit E le point d’intersection de la médiatrice de BC avec le côté AB. Le triangle AEC est semblable au triangle ACB car ils ont les mêmes angles au sommet α, 2α et π - 3α.
Il en résulte AE/AC = AC/AB. D’où AE = b²/c.
Dans le triangle AED, l’angle en E vaut angle(AEC) + angle(BEC)/2 = 2α + (π - 2α)/2 = π/2 + α.
La relation des sinus dans ce triangle donne la relation AD/sin(π/2 + α) = AE/sin(ADE). Par construction AD = AC. D’où b/cos(α) = b²/c.sin(ADE) ou encore sin(ADE) = bcos(α)/c = 1/2.
Il en résulte angle(ADE) = π/6 = 30° et angle (BAD) = π – (π/2 + α) - π/6 = π/3 – α = angle(BAC)/3. Comme la méditarice de CD est la bissectrice de l’angle(CAD),la droite AD et la médiatrice de CD réalisent bien une trisection de l’angle en A.
2ème condition : si la trisection de l’angle en A est réalisée, alors angle en C = 2 fois angle en B
Soit angle(BAC) = 3α. Sur la médiatrice de CD, on trace le point F tel que AF=AB. Les deux triangles ABD et AFC sont isométriques car ils ont le même angle α compris entre deux côtés égaux deux à deux.
Il en résulte que CF = BD = CD. Le triangle CDF est donc équilatéral et angle(ABD) = angle(AFC) = 30° = π/6.
On a les mesures d’angles suivantes : angle(ADB) = 5π/6 – α, angle(ADC) = angle(ACD) = π/2 – α, angle(BDC) = 2π – (π/6 – α) – (π/2 – α) = 4π/3 + 2α, angle(DBC) = angle(DCB) = π/2 – (2π/3 + α) = π/6 – α.
D’où angle(ABC) = π/3 – α et angle(ACB) = π/2 – α + π/6 – α = 2(π/3 – α) = 2angle(ABC). cqfd
