Enoncé D1924 (Diophante)
La saga de l’angle de 60° (5ème épisode)
Dans un triangle acutangle ABC ayant pour orthocentre H, les médiatrices de BH et de CH rencontrent AB et AC respective- ment aux pointsM et N. Démontrer que l’angle en A est égal à 60° si et seulement si les trois points H, M et N sont alignés sur une même droite. Prouver que le centre O du cercle circonscrit à ABC est alors sur cette même droite.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Je suppose le triangleABC de sens direct.
Les trianglesBM H etCM H sont isocèles, avec leurs angles enB etC (et donc en H) égaux à π/2−(AB, AC).
Alors (M H, M A) = 2(BH, BM) =π−2(AB, AC), (N A, N H) = 2(CN, CH) =π−2(AB, AC),
(M H, N H) = (M H, M A) + (M A, N A) + (N A, N H) =
= 2π−3(AB, AC).
M, H et N sont alignés si M H, N H) = π, ce qui équivaut à (AB, AC) =π/3.
Le triangleAM N est alors équilatéral.
On a aussi (BC, BA) + (CA, CB) = 2π/3.
Pour établir queO est surM N, je vais comparerOà l’intersection P de M N et de la médiatrice de AB.
La distance deO etP à HC, comptée positivement deA vers B, estRsin((AB, AC)−(BC, BA)) =Rsin(π/3−(BC, BA)).
Comme (M N, BA) =π/3, la projection deHP surHC, comptée positivement deH vers C, est
−Rsin(π/3−(BC, BA)) tan(π/3) =
−2Rsin(π/3−(BC, BA)) sin(π/3), car tan(π/3) = 2 sin(π/3),
=R(cos(CA, CB)−cos(BC, BA)).
La distance deAB à H est
2Rcos(BC, BA) cos(AB, AC) =Rcos(BC, BA),
d’où la distance deAB à P :Rcos(CA, CB) qui est aussi la dis- tance deAB à O.
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