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D1924 : La saga de l’angle de 60° (5ème épisode)

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Academic year: 2022

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Problème proposé par Dominique Roux

Dans un triangle acutangle ABC ayant pour orthocentre H, les médiatrices de BH et de CH

rencontrent AB et AC respectivement aux points M et N. Démontrer que l’angle en A est égal à 60°

si et seulement si les trois points H, M et N sont alignés sur une même droite. Prouver que le centre O du cercle circonscrit à ABC est alors sur cette même droite.

Les triangles MBH et NCH sont donc isocèles, MHB=MBH, NHC=NCH, et

MBH=NCH=π/2-A, BHC=π-A, donc MHN=MHB+BHC+NHC=2π-3A. Les points M, H et N sont alignés si et seulement si MHN=π, donc A=π/3; alors BHM=π/6, BHC=BOC : B, C, H et O sont cocycliques, BHO=BCO=π/6, BHO=BHM, donc O appartient à la droite MN.

D1924 : La saga de l’angle de 60° (5ème épisode)

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