Problème proposé par Dominique Roux
Dans un triangle acutangle ABC ayant pour orthocentre H, les médiatrices de BH et de CH
rencontrent AB et AC respectivement aux points M et N. Démontrer que l’angle en A est égal à 60°
si et seulement si les trois points H, M et N sont alignés sur une même droite. Prouver que le centre O du cercle circonscrit à ABC est alors sur cette même droite.
Les triangles MBH et NCH sont donc isocèles, MHB=MBH, NHC=NCH, et
MBH=NCH=π/2-A, BHC=π-A, donc MHN=MHB+BHC+NHC=2π-3A. Les points M, H et N sont alignés si et seulement si MHN=π, donc A=π/3; alors BHM=π/6, BHC=BOC : B, C, H et O sont cocycliques, BHO=BCO=π/6, BHO=BHM, donc O appartient à la droite MN.