D1924. La saga de l'angle de 60° (5ème épisode)
Problème proposé par Dominique Roux
Dans un triangle acutangle ABC ayant pour orthocentre H, les médiatrices de BH et de CH
rencontrent AB et AC respectivement aux points M et N. Démontrer que l’angle en A est égal à 60°
si et seulement si les trois points H,M et N sont alignés sur une même droite. Prouver que le centre O du cercle circonscrit à ABC est alors sur cette même droite.
En angles de droites :
(HN,HM)=(HN,AC)+(AC,AB)+(AB,HM)=[(HN,HC)+(HC,AC)]+(AC,AB)+[(AB,HB)+(HB,HM)]
(HN,HM)=2(HC,AC)+(AC,AB)+2(AB,HB) (égalité des angles à la base de triangles isocèles) (HN,HM)=2(HC,HB) – (AC,AB)= 2[(HC,AB)+(AB,AC)+(AC,HB)]+(AB,AC)
(HN,HM)=2 [П/2+(AB,AC)+П/2] + (AB,AC) ( HC et HB perpendiculaires à AB et AC ) (HN,HM)= 3 (AB,AC) .Donc MHN sont alignés si et seulement si  = 60°
 = 60°, montrer que O,centre du cercle circonscrit à ABC, est sur cette droite :
Les médiatrices de HB et HC se coupent en A' qui est le centre du cercle circonscrit à BHC.
Ce point A' appartient au cercle (O). MA' et AC sont perpendiculaires à la hauteur BB' donc parallèles. Angle A'MH = angle BMA' = Â = 60° et HMA = 180° - 120° = 60°.
Les angles NMA et NMA' sont symétriques par rapport à la droite MN. Idem pour les angles MNA et MNA'. Donc MAN et MAN' sont 2 triangles équilatéraux symétriques par rapport à la droite MN.
La droite MN est la médiatrice de la corde AA' du cercle (O), donc MN passe par le centre O de ce cercle.
