Enoncé D1935 (Diophante)
La saga de l’angle de 60° (8ème épisode)
Dans un triangle acutangleABC qui a pour orthocentreHet dans lequel le sommetB se projette enI sur le côtéAC, démontrer que la droite d’Euler est la bissectrice de l’angleCHI si et seulement si l’angle enA est égal à 60°.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je note ˆA, ˆB, ˆC, les angles (AB, AC), (BC, BA), (CA, CB) du triangleABC supposé de sens direct, etR le rayon du cercle cir- conscrit.
B, H, I sont alignés, et
(BI, BO) = (BI, OA) + (OA, OB)−π= ˆB+ 2 ˆC−π= ˆC−A.ˆ La distance de O à HI, comptée positivement du côté deA, est la projection deOB surAC, soitRsin( ˆC−A).ˆ
De même la distance de O à CH, comptée positivement du côté de A, est la projection de OC surAB, soitRsin( ˆB−A).ˆ
Pour queHOsoit bisssectrice intérieure de l’angleCHI, il faut et il suffit que ces deux distances deO àHI etHC soient opposées, soit
0 = sin( ˆC−A) + sin( ˆˆ B−A) = 2 sinˆ
Bˆ+ ˆC−2 ˆA
2 cos
Bˆ−Cˆ 2 , 0 = 2 sinπ−3 ˆA
2 cos Bˆ−Cˆ
2 .
Comme ˆA < π et|Bˆ−C|ˆ < π, cela équivaut à ˆA=π/3, CQFD.
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