Problème proposé par Dominique Roux
Dans un triangle acutangle ABC qui a pour orthocentre H et dans lequel le sommet B se projette en I sur le côté AC, démontrer que la droite d’Euler est la bissectrice de l’angle CHI si et seulement si l’angle en A est égal à 60°.
Si l’angle A est égal à π/3, O, centre du cercle circonscrit à ABC, appartient au cercle circonscrit à HBC, symétrique du précédent par rapport à BC.
Alors BHC=BOC=2π/3, et OHB=OCB=(π-BOC)/2=π/6 : OH est donc bissectrice extérieure de BHC.
Réciproquement, soient C’ le milieu de AB et P et Q les intersections de OH avec AB et AC respectivement. les triangles AOC’ et AHI sont semblables, et si OH est bissectrice extérieure de BHC, les triangles A’OP et IHQ sont semblables, de même que AOP et AHQ : le triangle AOH est isocèle, puisque ses angles en O et H sont égaux : A appartient à la médiatrice de OH, ce qui ramène à l’épisode n°2 : l’angle A vaut π/3.
