D1935 – La saga de l’angle de 60° (8ème épisode) [**à la main]
Problème proposé par Dominique Roux
Dans un triangle acutangle ABC qui a pour orthocentre H et dans lequel le sommet B se projette en I sur le côté AC, la droite d’Euler est la bissectrice de l’angle CHI si et seulement si l’angle en A est égal à 60°
Solution proposée par Bernard Vignes 1ère partie : l’angle en A vaut 60°
Soient J la projection de C sur AB et K l’intersection de CJ avec le cercle circonscrit à ABC de centre O. On a BKC = BAC = 60°, BHK = 180° ‒IHJ = BAC = 60°. Le triangle BHK est donc équilatéral. H est donc à égale distance de B et de K. Il en est de même du point O. OH qui est la droite d’Euler du triangle ABC est la médiatrice de BK et c’est en même temps la bissectrice des angles BHK et CHI.
2ème partie : OH est la bissectrice de l’angle CHI.
Soit L le point d’intersection de la droite BI avec le cercle circonscrit au triangle ABC.
On a les égalités d’angles BKC = BAC,BHK = CHI = 90° ‒ ACK = BAC. Le triangle BHK est donc isocèle de sommet B. Il en est de même du triangle CHL isocèle de sommet C.
Comme ABC est acutangle, le point O est intérieur au triangle ABC et se trouve soit à l’intérieur du triangle BHK soit à l’intérieur du triangle CHI. Supposons sans perte de généralité qu’il est à l’intérieur du triangle CHI. On a OC = OL et OHL = OHC. Les deux triangles OHL et OHC sont isométriques et HC = HL. Le triangle CHL est isocèle de sommet H. Il est donc équilatéral D'où CHL = 60° = 180° ‒ IHJ = BAC= 60°
