Enoncé D1926 (Diophante)
La saga de l’angle de 60° (6ème épisode)
On désigne parrle rapport du demi-périmètre d’un triangleABC à la somme des rayons des cercles circonscrit et inscrit. Démontrer que l’un des angles du triangle est égal à 60° si et seulement si r2= 3.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
SoitRle rayon du cercle circonscrit,icelui du cercle inscrit, etple demi-périmètre. Les côtés ayant pour mesure 2RsinA, 2RsinB, 2RsinC, avec A+B +C+π, la transformation de sommes en produits donne
p= 4Rcos(A/2) cos(B/2) cos(C/2).
L’aire du triangle est
pi= (1/2)AB·AC·sinA= 2R2sinAsinBsinC, d’où i= 4Rsin(A/2) sin(B/2) sin(C/2).
Transformant ce dernier produit en sommes, i=R(cosA+ cosB+ cosC−1).
Ainsi (1 +i/R)(r−√ 3) =
= (sinA+ sinB+ sinC)−√
3(cosA+ cosB+ cosC) =
= 2 sin(A−π/3) + 2 sin(B−π/3) + 2 sin(C−π/3) =
= 2 sin(A−π/3) + 4 sin(π/6−A/2) cos(B/2−C/2) =
= 4 sin(π/6−A/2)(cos(B/2−C/2)−cos(π/6−A/2)) =
= 8 sin(π/6−A/2) sin(π/6−B/2) sin(π/6−C/2).
Cette dernière expression s’annule si et seulement si un des angles vaut 60°, et il en est de même der−√
3, CQFD.
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