D1926 – La saga de l’angle de 60° (6ème épisode) [***à la main]
Problème proposé par Dominique Roux
On désigne par k le rapport du demi-périmètre d’un triangle ABC à la somme des rayons des cercles circonscrit et inscrit. Démontrer que l’un des angles du triangle est égal à 60° si et seulement si k² = 3.
Solution proposée par Paul Voyer:
Le rayon du cercle inscrit est : r=
cos 2 sin 2 sin 2 .
A C a B
Le rayon R du cercle circonscrit est :
R = A B C
p C
c B b A a
sin sin
sin sin
2 sin 2 sin
2
R+r =
cos2 sin 2 sin 2 .
A C a B
+ A
a sin
2 =
A
C B a A
sin 2
sin 2 sin 2 sin 2 4
1
= A B C
C B p A
sin sin
sin
sin 2 sin 2 sin 2 4 1
En posant x=
6 2
A , y=
6 2
B
,
x y
C 6 2
Et en substituant
6 2
x
A ,
6 2
y
B , C x y
6 2
, il vient :
k 1=
y x y
x
y x y
x
2 3 2
3 sin 2
3 sin 2 sin
sin 6 sin 6
sin 6 4 1
qui vaut aussi (calcul laborieux par Wolfram Alpha) : k
1 =
2 6 2 cos 3 3
2 3 sin
2 sin
) sin(
) sin(
) sin(
8 3
1
y x y
x
y x y x
k vaut 3
1 si et seulement si x ou y ou (x+y) est nul, soit si un des angles A, B ou C vaut 60°.
http://www.wolframalpha.com/input/?_=1328444545597&i=%5b1%2b4sin(x%2bpi%2f6)*si n(y%2bpi%2f6)*sin(pi%2f6-x-
y)%5d%2f%5bsin(2x%2bpi%2f3)%2bsin(2y%2bpi%2f3)%2bsin(pi%2f3-2x-2y)%5d- 1%2fsqrt(3)&fp=1&incTime=true
