D1808 ‒ Les cercles d'orthiculture [*** à la main]
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Dans un triangle ABC, on désigne respectivement par HA, HB et HC les pieds des hauteurs issues des som- mets A, B et C sur les droites (BC, (CA) et (AB).
Q₁ Démontrer que les points d'intersection des droites (HAHB), (HBHC) et (HCHA) avec,respectivement, les droites (AB),(BC) et (CA) sont alignés sur une droite appelée (Δ).
On désigne par MA, MB et MC les milieux des côtés BC,CA et AB puis par KA,KB et KC les points d'intersec- tion des droites (AHA), (BHB) et (CHC) avec, respectivement, les perpendiculaires issues de MA, MB et MC à (Δ).
Q₂ Démontrer que les cercles (HAMAKA), (HBMBKB) et (HCMCKC) ont même rayon.
Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca.
Q1. Resulta inmediata. Esa recta es la que se conoce como polar del punto –en este caso el ortocentro - respecto del triángulo que también suele llamarse polar trilineal de .
Usando coordenadas baricéntricas respecto del triángulo , si el punto del que se va a construir su po- lar es la ecuación de su polar es
Además sabemos que esta polar es perpendicular a la recta de Euler del triángulo, pues, el lugar geométri- co de los puntos cuyas polares respecto ABC son perpendiculares a la recta de Euler es la hipérbola de Kiepert, que pasa por los puntos A, B, C, G (baricentro) y H (ortocentro) como puede verse en el enlace
http://amontes.webs.ull.es/pdf/ejtr2255.pdf Q2. KXKY es paralelo al lado
Según se observa en la figura bastará con que demostremos que el segmento KXKY es paralelo al segmento MXMY, y por tanto, también al lado , con ello tendríamos un paralelogramo con los diámetros como lados paralelos opuestos.
Utilizando la conocida notación de Conway, y expresiones similares para la recta de Euler de (pasa por y ), en coordenadas baricéntricas, es la de ecuación+
Su punto del infinito se obtiene hallando la intersección con la recta del infinito , obteniendo
La paralela a la recta de Euler (perpendicular a ) por se obtiene a partir de
La ecuación de la altura desde es .
La solución del sistema determinado por estas dos ecuaciones es el punto : Cambiando coordenada por coordenada , y por , obtenemos el punto
La suma de las coordenadas de es igual a la suma de las coordenadas de Además tienen igual la pri- mera coordenada, por tanto están situados sobre una recta paralela al lado como queríamos demostrar.
es el centro radical de esas tres circunferencias
Designamos . La potencia de respecto de ella es . Sea . Se tiene Δ .
La suma de las coordenadas de es Δ .
Calculemos los vectores y :
Δ Δ
Δ
Δ
Δ
Δ (la tercera coordenada de un vector es la opuesta a la suma de las otras dos en estas coordenadas, pues es un punto del infinito.)
De ahí se deduce que , esto es, y es el simétrico respecto de del punto medio de , punto situado sobre la circunferencia de Euler.
En el triángulo el ángulo en es , por tanto se tiene .
La expresión es simétrica en las tres letras y , lo cual nos indica que la potencia de es la misma res- pecto de cada una de las tres circunferencias. Las alturas del triángulo son los ejes radicales de cada par de circunferencias.
De todo esto se sigue que los centros de las mismas están situados sobre otra circunferencia centrada en el ortocentro . Forman un triángulo de lados iguales a los del triángulo medial y paralelos a (y por tanto homotético a él). Una traslación de vector lo lleva sobre el triángulo de los puntos medios. Esta misma traslación lleva la circunferencia circunscrita a sobre la circunferencia de los nueve puntos y por tanto el centro de la primera , sobre el centro de la segunda , de aquí el radio de las tres circunferencias iguales del problema sea la distancia entre y . Por tanto . Ecuaciones de las circunferencias , y
La ecuación de una circunferencia en estas coordenadas es de la forma
donde es la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo , es decir:
Los parámetros son los valores de la potencia de y , respecto a la circunferencia.
Así, por ejemplo, la circunferencia de Euler, relacionada con – el eje radical de ambas es la recta – tiene como ecuación
Para tendremos
A partir de , sustituyendo en esta última ecuación, y con cierta dosis de paciencia, llegamos finalmente a y por tanto:
y expresiones análogas para las otras dos circunferencias.
