D1959 Radicalement vôtre.
1er probléme
On désigne par les projections des sommets d’un triangle sur une droite quelconque . Démontrer que les perpendiculaires aux troix côtés et passant respectivement par et sont concourantes.
2ème problème
Soit un quadrilatère circonscrit à un cercle avec . On trace sur le côté le point tel que . Démontrer que la bissectrice de l’angle , la perpendiculaire à la droite passant par et la perpendiculaire à la droite passant par sont concourantes.
Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca 1er probléme
Tomamos unos ejes de coordenadas cartesianos con la recta como eje de abscisas, el punto como origen y la recta como eje de ordenadas. Se toma también como unidad de medida la distancia del punto al origen.
Con esto tenemos:
y, La recta perpendicular a que pasa por tiene ecuación . La perpendicular a por es y, por último, la perpendicular por es .
La concurrencia de estas rectas viene dada por la anulación del
determinante
, lo cual resulta de inmediato pues la tercera fila es la suma de las otras dos.
2ème problème
Por ser un cuadrilátero circunscrito entre sus lados se verifica la siguiente igualdad:
Usando la hipótesis , la relación anterior queda como
(1)
(Los puntos que verifican (1), pueden considerarse situados sobre una hipérbola de focos y y distan- cia focal ).
Tomando unos ejes de coor- denadas con como origen, como unidad, como eje de abscisas y
de ordenadas tenemos:
y . El punto , situado en el eje de absci- sas, está en la mediatriz del segmento .
Sea ésta la recta . Para obtenemos
, así pues,
.
El punto verifica (1), por tanto, y elevando al cuadrado , (2)
La ecuación de la perpendicular por al segmento es
Corta en a la recta (eje de ordenadas): ,
, utilizando (2); por tanto .
Este punto estará situado sobre la bisectriz de si equidista de los lados y . La ecuación de la recta es y la de es
Se tienen y
Y con esto concluimos.
