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La saga de l'angle de 60° (8-ième épisode) Problème D1935 de Diophante

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Academic year: 2022

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La saga de l'angle de 60° (8-ième épisode) Problème D1935 de Diophante

proposé par Dominique Roux

Dans un triangle acutangle ABC qui a pour orthocentre H et dans lequel le sommet B se projette en I sur le côté AC, démontrer que la droite d’Euler est la bissectrice de l’angle CHI si et seulement si l’angle en A est égal à 60°.

Solution

Ci-dessous, il apparaît que la bissectrice de l'angle CHI passe par S, point d'intersection du cercle (BHC) et de la médiatrice de BC.

En notant O le centre du cercle (BAC), il apparaît que la droite d'Euler (la droite OH) est bissectrice de l'angle CHI si (et seulement si) O et S coïncident.

L'angle BSC mesure π – A et l'angle BOC mesure 2A. Ces deux angles sont égaux lorsque A = π/3.

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