Enoncé D1963 (Diophante)
La saga de l’angle de 60° (9ème épisode)
Démontrer que dans un triangle acutangle ABC,la somme des distances du point de Fermat (1) aux trois sommets est égale au double de la médiane AM issue du sommet A si et seulement si l’angle enA vaut 60°.
(1) Du point de Fermat d’un triangle, on voit les trois côtés du triangle sous le même angle de 120°.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Le point de FermatF est le point commun aux 3 arcs capables que sont les cercles circonscrits aux triangles équilatéraux construits sur les côtés du triangle donné (cercles (F BC) de centreA0, (F CA) de centreB0, (F AB) de centre C0).
On détermine sans difficulté la distanceB0C0 avec la formule d’Al Kashi dans le triangle AB0C0 où AB0 =AC/√
3,AC0 =AB/√ 3, angleA+ 60° en A)
`2=B0C02 = (BC2+CA2+AB2+ 4S√ 3)/6
où S est l’aire de ABC; la forme symétrique de cette expression montre que`=B0C0 =C0A0 =A0B0(voir par exemple le problème D10128).
F A est la corde commune aux cercles de centres B0 et C0; ainsi B0C0 est médiatrice de F A, le triangle F B0C0 a pour hauteur F A/2, et son aire est B0C0·F A/4 ; le triangle A0B0C0, équilatéral et réunion deF B0C0, F C0A0, F A0B0, a pour aire
`(F A+F B+F C)/4 =`2√ 3/4, et F A+F B+F C =`√
3.
La condition de l’énoncé équivaut donc à 2AM =`√ 3, soit 4AM2 = 2AB2+ 2AC2−BC2 = 3`2 =
= (BC2+CA2+AB2+ 4S√ 3)/2.
2S√
3 =AB·AC√
3 sinA= 3(CA2+AB2−BC2)/2 =
= 3AB·ACcosA.
D’où tanA=√
3 etA= 60°, CQFD.
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