D1807. Le square de Pythagore
Dans cette cité triangulaire ABC (AB < AC ) qui honore les grands mathématiciens de l'Antiquité, les statues de Ménélaüs, de Diophante, d'Euclide et de Thalès sont installées aux sommets d'un quadrialatère MDET, appelé square Pythagore.
M est au milieu du côté BC.
D est le pied de la bissectrice issue de A sur le côté BC.
E est la projection de B sur la bissectrice AD
T est à l'intersection de la médiane AM et de la droite BE.
La statue de Pythagore est à l'intersection des diagonales ME et DT du quadrilatère MDET.
Montrer que Pythagore est à égale distance de Diophante et de Thalès.
Origine en A. Axe des abscisses suivant la bissectrice AD.
A(0,0), B(b,mb), C(c, – mc),
M[(b+c)/2, m(b-c)/2 ], E(b, 0), T[b, mb(b-c)/(b+c)], D[2bc/(b+c), 0]
Soit pour le milieu P de DT : P[ (b(b+3c))
(2(b+c)) , (bm(b−c)) (2(b+c)) ] Il reste à prouver l'alignement des trois points M,P,E.
Vecteur EM : [(c-b)/2, m(b-c)/2] sa pente est – m, EM et AC sont parallèles.
Vecteur EP : [ (b(c−b))
(2(b+c)) , (bm(b−c))
(2(b+c)) ] sa pente est – m, EP et AC sont parallèles.
Les trois points E,P,M sont alignés sur une droite parallèle à AC.
L'intersection des diagonales ME et DT du quadrilatère MDET est bien le milieu P de DT.
Pythagore est à égale distance de Diophante et de Thalès.
