Enoncé D1807 (Diophante) Le square Pythagore
Dans cette cité triangulaire ABC (AB < AC) qui honore les grands mathématiciens de l’Antiquité, les statues de Ménélaüs, de Diophante, d’Euclide et de Thalès sont installées aux sommets d’un quadrilatèreM DET, appelé square Pythagore.
M est au milieu du côtéBC.
Dest le pied de la bissectrice issue de A sur le côtéBC.
E est la projection de B sur la bissectriceAD.
T est à l’intersection de la médiane AM et de la droite BE.
La statue de Pythagore est à l’intersection des diagonales M E et DT du quadrilatèreM DET.
Montrer que Pythagore est à égale distance de Diophante et de Thalès.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je prends pour unité de longueur le diamètre du cercle circonscrit.
Ainsi les longueurs des côtés sont
BC=a= sinA,CA=b= sinB,AB=c= sinC.
Dans la base (A, B, C), les coordonnées barycentriques deM sont (0,1/2,1/2). Celles de D sont (0, b/(b+c), c/(b+c)), selon une propriété classique (considérer par exemple le rapport des aires de ABD etADC).
La distance deA à BC estABsinB =bc=ADcos(B/2−C/2), car l’angleHAD= (B−C)/2.
La longueurAE =ABcos(A/2) =csin(B/2 +C/2).
D’où AE/AD= (b+c)/(2b), et les coordonnées deE : ((b−c)/(2b),1/2, c/(2b)).
E etM ont même seconde coordonnée, ce qui montre queEM et AC sont parallèles ; l’équation de la droite EM est y= 1/2.
T appartient àAM, d’équation y=z, et à BE, d’équation x=z(b/c−1). On a
1/y= 1/z= (b/c−1)/x= (b/c+ 1)/(x+y+z) = (b+c)/c.
Les secondes coordonnées de D et T sont b/(b+c) et c/(b+c) respectivement, d’où 1/2 pour le milieuP de DT. Le milieuP de DT est surEM et se confond avec la statue de Pythagore, qui est donc équidistante de DetT, CQFD.
