D1807 - Le square Pythagore [*** à la main]
Dans cette cité triangulaire ABC (AB < AC ) qui honore les grands mathématiciens de l'Antiquité, les statues de Ménélaüs , de Diophante, d'Euclide et de Thalès sont installées aux sommets d'un quadrialatère MDET, appelé square Pythagore.
M est au milieu du côté BC.
D est le pied de la bissectrice issue de A sur le côté BC.
E est la projection de B sur la bissectrice AD
T est à l'intersection de la médiane AM et de la droite BE.
La statue de Pythagore est à l'intersection des diagonales ME et DT du quadrilatère MDET.
Montrer que Pythagore est à égale distance de Diophante et de Thalès.
Solution proposée par Bernard Vignes
La droite BE coupe le côté AC au point F. Comme AD est bissectrice de l'angle en A, F est symétrique de B par rapport à AD. Le point E est donc milieu de BF. Comme le point M est le milieu du côté BC, d'après le théorème de Thalès, la droite ME est parallèle à AC.
On en déduit la similitude des triangles DME et DCA d'une part et celle des triangles MET et AFT d'autre part..
Donc MD/ME = CD/CA.
D'après la loi des sinus dans le triangle ABC, on a la relation CD/CA = BD/BA.
D'où MD/ME = BD/BA = BD/FA qui s'écrit encore sous la forme MD/BD = ME/FA.
Par ailleurs ME/FA = MT/TA.
D'où MD/BD = MT/TA.La droite DT est parallèle à AB.
On en déduit DTE = ABF = AFB = MET. Le triangle PET est isocèle de sommet P. Comme DT est l'hypoténuse du triangle rectangle DET, P est le milieu de DT.
