D1807 - Le square Pythagore [*** à la main]
Dans cette cité triangulaire ABC (AB < AC ) qui honore les grands mathématiciens de l'Antiquité, les statues de Ménélaüs , de Diophante, d'Euclide et de Thalès sont installées aux sommets d'un quadrialatère MDET, appelé square Pythagore.
M est au milieu du côté BC.
D est le pied de la bissectrice issue de A sur le côté BC.
E est la projection de B sur la bissectrice AD
T est à l'intersection de la médiane AM et de la droite BE.
La statue de Pythagore est à l'intersection des diagonales ME et DT du quadrilatère MDET.
Montrer que Pythagore est à égale distance de Diophante et de Thalès.
Solution proposée par Thérèses Eveilleau
(AD) est bissectrice et aussi hauteur dans le triangle ABB1.
Ce triangle ABB1 est donc isocèle.
Il s'ensuit AB1= AB.
E est milieu de BB1.
Soit C1 le milieu de AB.
Comme AEB est triangle rectangle, on a AC1 = C1E = C1B.
Alors (EC1) est droite des milieux du triangle ABB1, il s'ensuit (EC1) // (AC) (*).
Par ailleurs M est milieu de BC, donc (ME) est droite des milieux du triangle CBB1 et (EM) // AC (**)..
De (*) et (**) on en déduit (EC1) // (ME) c'est à dire que (MC1) = (EC1).
Les points M, E et C1 sont alignés sur (ME).
On va utiliser la réciproque du théorème des trapèzes
Dans le quadrilatère ATDB :
les côtés (AI) et (BD) se coupent en M et les diagonales (AD) et (BI) se coupent en E.
Considérons la droite passant par les points M, E, et C1 soit la droite (ME). (***)
Alors, ce quadrilatère ATDB est un trapèze si le milieu de AB appartient à (ME) .
Nous avons vu précédemment que c'est le cas avec le point C1 milieu de AB (***).
ABDI est donc un trapèze.
On déduit (AB) // (DT).
Et surtout que (ME) coupe TD en son milieu P.
(Pour cela on peut aussi utiliser : DP/C1A = PE/EC1 = TP /BC1 puis DP / C1A = TP /BC1 = TP /C1A
soit DP / C1A = TP /C1A et finalement DP = TP ).
Rq : les 4 points C1, E, P et M sont alors en division harmonique.
