D1807 . Les squares de Pythagore
Dans cette cité triangulaire ABC (AB < AC ) qui honore les grands mathématiciens de l'Antiquité, les statues de Ménélaüs, de Diophante, d'Euclide et de Thalès sont installées aux sommets d'un quadrilatère MDET, appelé square Pythagore.
M est au milieu du côté BC.
D est le pied de la bissectrice issue de A sur le côté BC.
E est la projection de B sur la bissectrice AD
T est à l'intersection de la médiane AM et de la droite BE.
La statue de Pythagore est à l'intersection des diagonales ME et DT du quadrilatère MDET.
Montrer que Pythagore est à égale distance de Diophante et de Thalès.
Solution proposée par Bernard Grosjean
Résolution analytique
Prenons comme axes : BE : absisses, AED : ordonnées.
Le centre des coordonnées est le point E
Dans ce système, donnons nous les coordonnées des trois points A, B et D A (0, a) ; B ( b, 0) ; D (0, d)
Soit B' l'intersection de AC avec l'axe des x. AED étant la bissectrice de l'angle en A, B' a pour coordonnées (-b, 0).
Dans ce repère, nous avons les équations : - droite AB : bY + aX – ab = 0
- droite AB' : bY – aX – ab = 0 - droite BD : bY + dX – bd = 0 - droite AED : X = 0
Le point C est l'intersection de AB' et de BD.
C a pour coordonnées XC = b(d-a)/(a+d) et YC = 2ad/(a+d) Le point M est le milieu de BC
M a pour coordonnées XM = bd/(a+d) et YM = ad/(a+d) L'équation de la droite AM est : bdY + a2X – abd = 0
Le point T sur cette droite correspond à Y = 0. Il a pour coordonnées XT = bd/a et YT = 0 Le point P est à l'intersection des droites OM et TD
Nous avons les équations :
- droite OM : bY – aX = 0 (OM est parallèle à AC, ce qui est évident dans le triangle CB'B) - droite TD : bY + aX – bd = 0 (AB est parallèle à TD)
Les coordonnées de P sont : XP = bd/2a et YP = d/2
Le point P est le milieu de TD (on rappelle que D (0 ; d) et T (bd/a ; 0)) Pythagore est à égale distance de Diophante et de Thales
