A479. Quasi-équilatéraux parmi d'autres
Dans un triangle, pour que la somme des angles soit en progression arithmétique, il faut et il suffit d'avoir un angle de 60°
On cherche donc un triplet A, B, C tel que : A^2 – y^2 = (B-x)^2 et C^2 – y^2 = x^2 ce qui donne : A^2 -B^2 +2 B x = C^2
Or x= B-A/2 , et donc, au final , on cherche les triplets :
(A, B,C ) tels que A^2 -AB + B^2 = C^2
Question 1 :
Les solutions à cette équation sont données par les triplets d'Eisenstein.
Les trois premiers triplets primitifs sont
(3,5,8) , (5,7,8) et (7,15,13)
Question 2 :
On peut construire une infinité de triangles de ce type en prenant :
A = m^2 – mn + n^2 B = 2mn – n^2
C = m^2 – n^2
Question 3 :
Pour tendre vers un triangle équilatéral, il suffit de prendre des valeurs choisies judicieusement pour m et n , sachant que l'on retrouve des triangles équilatéraux pour m=2n.
On peut donc prendre, par exemple : m = 2k et n =k+1 On aura alors :
A = 3k^2 +1
B = 3k^2 – 2k – 1 C = 3k^2 + 2k – 1
ce qui tend vers un rapport de 1 entre les trois côtés pour k suffisamment grand.
