Chapitre 3 : Le théorème de Pythagore
Pythagore est un mathématicien grec (-500 avant JC).
On lui attribue le théorème de Pythagore (à écrire sans faute d’orthographe !) utilisé dans un triangle rectangle pour calculer un côté quand on connaît les deux autres.
La réciproque (dans l’autre sens), est utilisée pour vérifier qu’un triangle est rectangle quand on connaît ses trois côtés.
La calculatrice collège est indispensable.
1) Les touches l x² et de la calculatrice :
5 x 5 = 5² = 25
5² se lit « 5 au carré » ou bien « 5 puissance 2 ». C’est l’aire d’un carré de côté 5.
A la calculatrice on tape 5 lx² l= ou bien 5 lx l5 l=
25 s’affiche.
x² se lit « x deux » ou « x au carré » ou bien « x puissance 2 »
Pour retrouver 5 à partir de 25, on utilise la touche de la calculatrice en tapant sur seconde lx²
x²
5 25
C’est la touche « racine carrée »
25 = 5
on tape seconde lx² 25 l=
5 s’affiche.
On lit « racine de 25 » ou bien « racine carrée de 25 »
De même, 4 = 2 9 = 3 16 = 4 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10 …
Le nombre obtenu n’est pas toujours exact. On écrit alors l’arrondi du
résultat donné par la calculatrice (en général avec un chiffre après la virgule pour un calcul de distance).
Exemple : A = 6 la calculatrice affiche 2,449489…
On écrit A ≃ 2,4 pour arrondir au dixième.
Remarque : Attention 5² N’EST PAS EGAL A 10 !!
Il ne faut pas confondre 5² et 5 x 2 ! De même, x² n’est pas égal à 2x.
2) Le théorème de Pythagore :
Dans un triangle rectangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Exemple 1 : dans le triangle ABC rectangle en A tel que AB= 4cm et
AC = 6cm, calculer BC. On donnera la valeur exacte puis la valeur approchée au millimètre près.
Le triangle ABC est rectangle en A B
D’après le théorème de Pythagore :
BC² = BA² + AC² 4cm
BC² = 4² + 6² A 6cm C BC² = 52
BC = 52 cm BC ≃ 7,2 cm
Remarques :
● Il faut toujours commencer par écrire la seule condition : le triangle ABC est rectangle en A
● Il ne faut pas oublier de rajouter l’unité au résultat (souvent le centimètre)
● Si le résultat ne tombe pas juste, on écrit d’abord le signe = et la valeur exacte avec la racine, puis on arrondit en utilisant le signe ≃ .
● Dans un triangle rectangle, le côté le plus long , en face de l’angle droit s’appelle l’ hypoténuse.
● Attention, on n’écrit surtout pas BC = BA + AC !
(Cette égalité serait vraie si le point A appartenait au segment [BC] avec un triangle aplati).
● Pour construire le triangle ABC, on construit les deux côtés perpendiculaires [AB] et [AC] et on les relie.
Exemple 2 : dans le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 3 cm et BC = 5 cm, calculer AC.
Le triangle ABC est rectangle en A C
D’après le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC² 5 cm
5² = 3² + AC² 25 = 9 + AC²
25 - 9 = 9 + AC²- 9 A 3 cm B 16 = AC²
AC² = 16 AC = 16 AC = 4 cm
Remarques :
● L’égalité de Pythagore doit s’écrire avec une addition et pas une
soustraction. Quand on cherche le plus long côté comme dans l’exemple 1, on a une addition, quand on cherche un petit côté comme dans l’exemple 2, on a une soustraction.
● Pour construire ce triangle, on construit le segment [AB] de 3cm. On trace la perpendiculaire en A au segment [AB]. Puis on trace l’arc de cercle de centre B et de rayon 5cm qui coupe la perpendiculaire en C. On termine en traçant le segment [BC].
● On peut écrire moins d’intermédiaires pour les calculs.
3) Preuve géométrique :
AB
A C
AC
Les huit triangles orange ont les mêmes dimensions donc l’aire du grand carré bleu est égale à la somme des aires des deux petits carrés bleus.
L’aire du grand carré bleu est BC².
L’aire des deux petits carrés bleus est AB² + AC². On a bien l’égalité BC² = BA²+ AC²
B
4) Construction (rappel) :
Pour construire un triangle ABC tel que AB = 9cm, AC = 15cm et BC = 12cm, on peut commencer par tracer le côté le plus long AC de 15 cm.
Alors on trace l’arc de cercle de centre A et de rayon 9 cm, puis l’arc de cercle de centre B et de rayon 12 cm. Ils se coupent en B, troisième sommet du triangle.
B
9cm 12cm
9cm 12cm 15cm C
A 15cm C
Remarques :
● On n’efface pas les arcs de cercle qui montrent la méthode de construction.
● Attention à ne pas inverser 9 et 12cm.
5) Pour montrer qu’un triangle est rectangle :
Si un triangle vérifie l’égalité « le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés », alors il est rectangle.
C’est la réciproque du théorème de Pythagore.
Elle est utilisée pour montrer qu’un triangle est rectangle (ou que deux droites sont perpendiculaires) lorsqu’on connaît ses trois côtés.
Exemple : ABC est un triangle tel que AB = 3cm, AC= 4cm et BC = 5 cm.
Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.
A
3cm 4cm
B 5cm C
BC² = 5² = 25
AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 Donc BC² = AB² + AC²
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
Remarques :
● On commence par repérer le côté le plus long des trois et on calcule son carré. On va à la ligne !
On calcule ensuite la somme des deux autres carrés.
SI ON TROUVE LE MEME RESULTAT, on va à la ligne pour écrire l’égalité.
● Attention à ne pas mélanger le théorème et la réciproque du théorème !
● Le triangle est rectangle au point qui se trouve « en face » du côté le plus long.
6) Pour montrer qu’un triangle n’est pas rectangle :
Lorsqu’on ne trouve pas le même résultat, on ne peut pas utiliser la réciproque du théorème de Pythagore et IL NE FAUT PAS LA CITER :
Exemple : ABC est un triangle tel que AB = 3cm, AC = 4cm et BC = 6 cm.
Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.
A
3cm 4cm
B 6cm C
BC² = 6² = 36
AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 Donc BC² ≠ AB² + AC² Donc le triangle ABC n’est pas rectangle.
Remarque : Il y a donc quatre exercices différents sur Pythagore, avec quatre rédactions différentes A CONNAITRE PAR CŒUR et à ne pas confondre : calculer le plus long côté, calculer un petit côté, montrer qu’un triangle est rectangle et montrer qu’un triangle n’est pas rectangle.
Annexe : extrait du programme officiel : Triangle rectangle : théorème de Pythagore.
- Caractériser le triangle rectangle par l’égalité de Pythagore.
- Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres.
On ne distingue pas le théorème de Pythagore direct de sa réciproque (ni de sa forme contraposée). On considère que l’égalité de Pythagore caractérise la propriété d’être rectangle.
