D1808 Les cercles d'orthiculture

(1)

D1808 Les cercles d'orthiculture

Solution proposée par Pierre Renfer

On va utiliser les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).

On note a, b, c les longueurs des côté BC, CA, AB, comme d'habitude.

1) L'axe orthique

L'orthocentre H a pour coordonnées :

1 2 2 2

) c b (a

) c b (-a H









Donc les points H_A,H_B,H_C ont pour coordonnées :

1 2 2 2

1 2 2 2 A

) c b (a

) c b (a 0 H







1 2 2 2

B

) c b (a 0

) c b (-a H





0

) c b (a

) c b (-a

H ² ² ² ¹

1 2 2 2

C









Ou encore :

2 2 2

2 2 2 A

c b a

c b a 0 H







2 2 2

B

c b a - 0

c b a H







0

c b a -

c b a

H ² ² ²

2 2 2

C  





Soient P_A,P_B,P_C les points d'intersections respectifs des droites (BC) et (H_BH_C), des droites (CA) et )

H H

( _A _B , des droites (AB) et (H_AH_B). L'équation de la droite (H_AH_B) s'écrit :



^(-a ^b ^c ⁾ ^x ⁽^a ^b ^c ⁾ ^y ⁽^a ^b ^c ⁾ ^z



) c b a ( 0 c b a - c b a y

0 c

b a y

c b a 0

x

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2







































On en déduit les coordonnées du point P , puis par permutation circulaire celles de _C P_A et P_B :

2 2 2

2 2 2 A

c b a

c b a 0 P









2 2 2

B

c b a 0

c b a P









0

c b a

P ² ² ²

2 2 2

C  





(2)

Les trois points P_A,P_B,P_C sont bien alignés car le déterminant dont les colonnes sont les coordonnées des trois points est nul.

La droite  passant par les trois points est l'axe orthique du triangle ABC.

L'équation de cette droite s'écrit :



^(-a ^b ^c ⁾ ^x ⁽^a ^b ^c ⁾ ^y ⁽^a ^b ^c ⁾ ^z



) c b a ( 0 c b a c

b a y

0 c

b a y

c b a 0

x

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2







































On en déduit les coordonnées du point à l'infini  de la droite  :

2 2

a b

c a

b c





L'involution canonique  transforme le point à l'infini d'une direction de droite en le point à l'infini de la direction orthogonale.

Si le point à l'infini  a pour coordonnées (x,y,z), alors le point () a les coordonnées (x',y',z') définies par les formules :



















































y ) c b a ( x ) c b a ( ' z

x ) c b a ( z ) c b a ( ' y

z ) c b a ( y ) c b a ( ' x

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

Ces formules permettent d'obtenir les coordonnées du point à l'infini de la direction orthogonale à  :

2 2 2 2 2 2 4 4 4

b c a c b a 2 b a 2c

a b c b a c 2 a c 2b

c a b a c b 2 c b 2a ) (



















On peut au passage en profiter pour montrer l'orthogonalité de l'axe orthique et de la droite d'Euler en vérifiant qu'est nul le déterminant dont les colonnes sont les coordonnées du centre de gravité, du centre du cercle circonscrit et de () :

0 b c a c b a 2 b a 2c ) c b a ( c 1

a b c b a c 2 a c 2b ) c b a ( b 1

c a b a c b 2 c b 2a ) c b a ( a 1

2 2 2 2 2 2 4 4 4 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 4 4 4 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 4 4 4 2

2 2 2





























(3)

2) Coordonnées des points K_A,K_B,K_C

On désigne par (u,v,w) les coordonnées de (), calculées plus haut.

Alors l'équation de la droite (M_A()), perpendiculaire menée de M_A à  , s'écrit :

z u y u x ) v w ( 0 w 1 z

v 1 y

u 0 x















Comme point de la hauteur (AH_A), K_A a des coordonnées de la forme :

2 2 2

2 2 2 A

c b a

c b a x K







En écrivant que ces coordonnées vérifient l'équation de (M_A()), on trouve :

) c b a ( 3

u

x ₂ 2 ₂ ₂



 

On obtient donc pour K_A les coordonnées :

) c b a ( ) c b a 3(

) c a b a c b 2 c b 2(2a 2u

K

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 4 4 4

A





























La somme de ces coordonnées est : S2(a⁴ b⁴ c⁴ 2b²c² 2a²b² 2a²c²) On obtient par permutation circulaire les coordonnées de K_B,K_C :

) c b a ( ) c b a 3(

) b a c b c a 2 c b 2 a 2(

) c b a ( ) c b a 3(

K

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 4 4 4

2 2 2 2 2 2

B



























) c b c a b a 2 c 2 b a 2(

) c b a ( ) c b 3(a

) c b a ( ) c b 3(a K

2 2 2 2 2 2 4 4 4

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

C























3) Egalité des rayons des trois cercles

Les triangles M_AH_AK_A, M_BH_BK_B, M_CH_CK_C sont rectangles et les diamètres de leurs cercles circonscrits sont les hypoténuses M_AK_A, M_BK_B, M_CK_C

Pour calculer la distance entre deux points M et M', on utilise leurs coordonnées (,,) et (',','), de somme S.

(4)

Alors :























































AC ' AB ' ' AM S

AC AB

AM

S et











   

MM' y AB zAC

S , avec





























 ' z

' y

' x

Donc : S²MM'²c²y² b²z² 2bccosAyzc²y²b²z² (a² b² c²)yz En utilisant B ou C comme origine plutôt que A, on obtient aussi :

xy ) c b a ( y a x b

zx ) c b a ( x c z a

yz ) c b a ( z b y c ' MM S

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2































On utilise cette méthode pour M'K_A et MM_A et S2(a⁴ b⁴ c⁴ 2b²c² 2a²b² 2a²c²) Les coordonnées de K_A ont été calculées ci-dessus et celles de M_A sont :

2 2 2 2 2 2 4 4 4

2 2 2 2 2 2 4 4 4 A

c a 2 b a 2 c b 2 c b a

c a 2 b a 2 c b 2 c b a 0 M









Alors :



































) c b c a b a 2 c 2 b a ( 2 z

) b a c b c a 2 c b 2 a ( 2 y

) c a b a c b 2 c b a 2 ( 2 x

2 2 2 2 2 2 4 4 4

On remarque la permutation circulaire sur a,b,c induit une permutation circulaire sur x,y,z.

On obtient ainsi la distance M_AK_A et par permutation circulaire les distances M_BK_B et M_CK_C :







































xy ) c b a ( y a x b K M S

zx ) c b a ( x c z a K M S

yz ) c b a ( z b y c K M S

2 2 2 2 2 2 2 2

C C 2

2 2 2 2 2 2 2 2

B B 2

2 2 2 2

A A 2

Les trois diamètres sont donc bien égaux