D 1821 Une figure pascalienne Solution proposée par Pierre Renfer
On utilise les coordonnées barycentriques par rapport au repère affine (A, B, C).
On note comme d’habitude a, b,c, les longueurs des côtés BC, CA, AB.
1) Coordonnées des premiers points
On connaît classiquement les coordonnées des points I, O, D :
c b a
I
) c b a ( c
) c b a ( b
) c b a ( a O
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
c b a
c b a 0 D
La somme S des coordonnées de O est S(abc)( abc)( abc)( abc)
Le point A a comme coordonnées de même somme :
0 0 S A
On obtient les coordonnées de F en retanchant ces coordonnées de A aux doubles de celles de O
) c b a ( c 2
) c b a ( b 2
) c b a ( ) c b a ( F
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
L’équation du cercle est : a2yzb2zxc2xy0
Comme point de la droite (AI), le point E a des coordonnées de la forme : c b u E
On trouve u en remplaçant x, y, z par ces coordonnées de E dans l’équation de :
c b u a2
Les coordonnées de E sont donc :
c) (b c
) c b ( b
a E
2
2) Coordonnées du point P
L’équation de la droite (DE) s’écrit :
z ) c b a ( a y ) c b a ( a x ) c b a ( ) c b ( 0 ) c b ( c c b a z
) c b ( b c b a y
a 0
x
2 2
2 2 2
L’équation de la droite (FI) s’écrit :
0 )
c b a ( c 2 c
z
) c b a ( b 2 b
y
) c b a ( ) c b a ( a x
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
En simplifiant par abc, on obtient :
0 z ) c b a ( ) c b a ( b y ) c b a ( ) c b a ( c x ) c b a ( ) c b ( bc
2 2 2 2 2 2 2
On pose :
z ) c b a ( Z
y ) c b a ( Y
x ) c b a ( X
On est alors ramené à résoudre le sytème :
0 Z ) c b a ( b Y ) c b a ( c X ) c b ( bc 2
0 Z a Y a X ) c b (
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
On trouve :
c Z
b Y
a X ) c b
( 2
On en déduit les coordonnées de P :
c b a
) c b ( cb c a
) c b ( ba b c
a
P
2
On remarque que ces coordonnées vérifient l’équation du cercle . Le point P appartient donc au cercle .
3) Conclusion
On peut conclure à l’aide du théorème de Pascal .
Ce théorème affirme que si un cercle contient six points U, V, W, U’, V’, W’, alors les trois points d’intersection de (UV ’) et (VU’), de (VW’) et (WV’), de (WU’) et (UW’) sont alignés.
On choisit sur le cercle :
P W
B V
A U
et
E ' W
C ' V
F ' U
Alors :
I ) ' UW ( ) ' WU (
Q ) ' WV ( ) ' VW (
R ) ' VU ( ) ' UV (
Les points R, Q et I sont donc alignés.
