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D 1864 Barres parallèles

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

D 1864 Barres parallèles

Solution proposée par Pierre Renfer

On va utiliser les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).

On note a, b, c les longueurs des côté BC, CA, AB, comme d'habitude.

1) Coordonnées du point A0

Soient I le milieu de [BC] et  l’angle en A du triangle ABC.

On pose :  (a b c)           ( a b c)(a b c)(a b c) Alors l’aire du triangle ABC est : bc sin

2 4

   

Donc : tan 2 2 2

2bc cos a b c

 

  

    

Par ailleurs : tan 2 IA0 a

  

On en déduit : IA0 a 2 2 2 2 a b c

  

   (1)

Le point A0 appartient à la médiatrice de [BC] qui passe par I et sont point à l’infini .

Le point  appartient aussi à la hauteur issue A dont le pied P a pour coordonnées : 2 2 2

2 2 2

0

P a b c a b c

 

  Le point A0 a donc des coordonnées de la forme :

2

2 2 2

0

2 2 2

2a

A a b c a b c

    

    

La somme des coordonnées est 2et les coordonnée de I de même somme sont :

0 I 

(2)

Donc :

2 2 2 2 2 2

2 AA ( a0 b c )AB ( a b c )AC

2 AI AB AC

  

  

                



       

La différence membre à membre donne : 2 IA ( a 0   2 b2c )AB ( a2  2 b2 c )AC2

Donc :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

4 IA ( a b c ) c ( a b c ) b 2( a b c )( a b c )bc cos

( a b c ) c ( a b c ) b 2( a b c )( a b c )( a b c ) a

                      

                     

  

0

IA a 2

  

 (2)

En comparant les relations (1) et (2), on obtient :    a2 b2c2

Si l’angle  est aigu,  a2 b2c2 est positif et comme A et A0 sont dans le même demi-plan limité par (BC),  est positif.

Donc :    a2 b2c2

Les coordonnées de A0 sont donc :

2

2 2

0

2 2

a A c a

b a

2) Coordonnées des points A1 et A2

L’équation de la droite (BA0) est :

2

2 2 2 2 2

2 2

x 0 a

y 1 c a (b a )x a z 0 z 0 b a

      

Les coordonnées de A1 sont donc :

2

1

2 2

a A 0

b a

(3)

L’équation de la droite (CA0) est :

2

2 2 2 2 2

2 2

x 0 a

y 0 c a (c a )x a y 0 z 1 b a

       

Les coordonnées de A2 sont donc :

2

2 2

2

a A c a

0

3) Barres parallèles

L’équation de la droite (A1A2) est :

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

x a a

y 0 c a (b a )(c a )x a (b a )y a (c a )z 0 z b a 0

               

Le point U à l’infini d’une droite d’équation ux vy wz 0   a pour coordonnées :

v w U w u u v

Le point U à l’infini de la droite (A1A2) a donc pour coordonnées :

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a (b c ) U b (c a ) c (a b )

 

 

 

Pour obtenir les points à l’infini des droites (B B1 2) et (C C1 2), il suffit de faire une permutation circulaire sur les coordonnées x, y, z et sur les nombres a, b, c.

On constate que les trois droites (A1A2), (B B1 2) et (C C1 2) ont le même point à l’infini.

Les trois droites sont donc parallèles.

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