D 1864 Barres parallèles
Solution proposée par Pierre Renfer
On va utiliser les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).
On note a, b, c les longueurs des côté BC, CA, AB, comme d'habitude.
1) Coordonnées du point A0
Soient I le milieu de [BC] et l’angle en A du triangle ABC.
On pose : (a b c) ( a b c)(a b c)(a b c) Alors l’aire du triangle ABC est : bc sin
2 4
Donc : tan 2 2 2
2bc cos a b c
Par ailleurs : tan 2 IA0 a
On en déduit : IA0 a 2 2 2 2 a b c
(1)
Le point A0 appartient à la médiatrice de [BC] qui passe par I et sont point à l’infini .
Le point appartient aussi à la hauteur issue A dont le pied P a pour coordonnées : 2 2 2
2 2 2
0
P a b c a b c
Le point A0 a donc des coordonnées de la forme :
2
2 2 2
0
2 2 2
2a
A a b c a b c
La somme des coordonnées est 2et les coordonnée de I de même somme sont :
0 I
Donc :
2 2 2 2 2 2
2 AA ( a0 b c )AB ( a b c )AC
2 AI AB AC
La différence membre à membre donne : 2 IA ( a 0 2 b2c )AB ( a2 2 b2 c )AC2
Donc :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
4 IA ( a b c ) c ( a b c ) b 2( a b c )( a b c )bc cos
( a b c ) c ( a b c ) b 2( a b c )( a b c )( a b c ) a
0
IA a 2
(2)
En comparant les relations (1) et (2), on obtient : a2 b2c2
Si l’angle est aigu, a2 b2c2 est positif et comme A et A0 sont dans le même demi-plan limité par (BC), est positif.
Donc : a2 b2c2
Les coordonnées de A0 sont donc :
2
2 2
0
2 2
a A c a
b a
2) Coordonnées des points A1 et A2
L’équation de la droite (BA0) est :
2
2 2 2 2 2
2 2
x 0 a
y 1 c a (b a )x a z 0 z 0 b a
Les coordonnées de A1 sont donc :
2
1
2 2
a A 0
b a
L’équation de la droite (CA0) est :
2
2 2 2 2 2
2 2
x 0 a
y 0 c a (c a )x a y 0 z 1 b a
Les coordonnées de A2 sont donc :
2
2 2
2
a A c a
0
3) Barres parallèles
L’équation de la droite (A1A2) est :
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
x a a
y 0 c a (b a )(c a )x a (b a )y a (c a )z 0 z b a 0
Le point U à l’infini d’une droite d’équation ux vy wz 0 a pour coordonnées :
v w U w u u v
Le point U à l’infini de la droite (A1A2) a donc pour coordonnées :
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a (b c ) U b (c a ) c (a b )
Pour obtenir les points à l’infini des droites (B B1 2) et (C C1 2), il suffit de faire une permutation circulaire sur les coordonnées x, y, z et sur les nombres a, b, c.
On constate que les trois droites (A1A2), (B B1 2) et (C C1 2) ont le même point à l’infini.
Les trois droites sont donc parallèles.