D 1875 Un triangle moyen
Solution proposée par Pierre Renfer
On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère (A,B,C).
On note a, b, c les longueurs des côtés BC, CA, AB.
Ici : a2 bc Question 1
On connaît les coordonnées de O et K :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
a ( a b c ) bc ( bc b c ) O b (a b c ) b (bc b c )
c (a b c ) c (bc b c )
2 2 2
a bc K b
c
La somme s des coordonnées de O est :
2 2
2 2
2 2 2 2
s (a b c )( a b c )(a b c )(a b c ) (b c ) a a (b c )
(b c bc )(3bc b c )
En multipliant les coordonnées de K par le facteur 3bc b 2 c2, on obtient pour K des coordonnées de même somme s.
En retranchant à ces coordonnées de K celles de O, on obtient les coordonnées du point à l’infini de la droite (OK) :
2 2
2
2bc (b c ) 2b c (b c )
2bc (b c )
ou en simplifiant :
b c b
c
On reconnaît que est aussi point à l'infini de la bissectrice extérieure en A.
La droite (OK) est donc parallèle à cette bissectrice.
Question 2
La droite (BK) a pour équation : 2 2
2
x 0 bc
y 1 b c x bcz c (cx bz) 0 z 0 c
La droite (CG) a pour équation :
x 0 1
y 0 1 x y 0 z 1 1
On en déduit que le point A1 a pour coordonnées : 1 b A b c
En échangeant b et c et y et z, on obtient les coordonnées de A2 : 2 c A b c On conclut que les points A1 et A2 appartiennent à la bissectrice intérieure en A.
![Démontrer que: a) Sommes: [A,B]=-[B,A] antisymétrie [A,(B+C)]=[A,B]+[A,C] distributivité (2) [(A+B),(C+D)]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D] B ) Produits: [A,BC]=[A,B] C+B[ A,C] [BC,A]=B[C,A]+[B,A] C [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B [Am,An]=0 m et n b) Tro](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)