D 1867 Elémentaire, mon cher Watson Solution proposée par Pierre Renfer
On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).
On note a, b, c les longueurs des côtés [BC], [CA], [AB].
QUESTION 1
Soient ( les coordonnées de M, avec 1 Les coordonnées de P, Q, R, P’, Q’, R’ sont alors :
P 0 1
0 Q 1
1 R
0
P' 1 0
1 Q' 0
0 R'
1
CP CA
CM CA CB
donc : MP BC et : MP a
BQ BC
BM BA BC
donc : MQ AB et : MP c
AR AB
AM AB AC
donc : MR CA et : MR b
BP' BA
BM BA BC
donc : MP' CB et : MP' a
AQ' AC
AM AB AC
donc : MQ' BA et : MQ' c
CR' CB
CM CA CB
donc : MP AC et : MR' b
On conclut : MP MQ MR MP' MQ' MR' abc
QUESTION 2
Soit ux vy wz 0 l’équation de la droite passant par M Les coefficients u, v, w vérifient : u v w 0
Les coordonnées de X, Y, Z sont :
0 X w
v
w Y 0
u
v Z u
0
BQ BC
(v w )BX v BC
donc : (v w )XQ ( v w v )BC (u v )BC
et : XQ c u v v w
CP BA
(w u)CY w CA
donc : (w u)YP ( w u w )CA (v w )CA
et : YP a v w w u
AR AB
(u v )AZ w AB
donc : (u v )ZR ( u v u)AB (w u)AB
et : ZR b w u u v
CR' CB
(v w )CX w CB
donc : (v w )XR' ( v w w )CB (w u)CB
et : XR' a w u v w
AQ' AC
(w u)CY u AC
donc : (w u)YQ' ( w u u)AC (u v )AC
et : YQ' b u v w u
BR' BA
(u v )BZ v BA
donc : (u v )ZR' ( u v v )BA (v w )BA
et : ZR' c v w u v
On conclut : XQ YP ZR XR' YQ' ZP' abc
La valeur des produits est la même que dans la question 1.
QUESTION 3
On prend l’aire du triangle ABC comme unité d’aire.
Alors l’aire du triangle PQR est la valeur absolue du déterminant suivant : 0 1
0 1 (1 )(1 )(1 )
1 0
Et l’aire du triangle P’Q’R’ est la valeur absolue du déterminant suivant :
1 0
1 0 (1 )(1 )(1 )
0 1
Les deux aires sont donc égales.
