Problème proposé par Pierre Leteurtre
Soit le triangle ABC. Par le point M du plan, on trace la parallèle à BC qui coupe AC en P et AB en P’, la parallèle à AB qui coupe BC en Q et AC en Q’ et la parallèle à AC qui coupe AB en R et BC en R’.
En outre, une droite quelconque passant par M coupe BC en X, AC en Y et AB en Z.
Montrer les égalités :
Q₁ MP*MQ*MR = MP’*MQ’*MR’
Q₂ XQ*YP*ZR = XR’*Y Q’*ZP’. Comparer avec le résultat de Q₁.
Q₃ Aire(PQR) = Aire(P’Q’R’)
Q1 : Le triangle MPQ’ est semblable à BCA, donc MP/MQ’=BC/AB, de même MQ/MR’=AB/AC et MR/MP’=AC/BC. Donc MP*MQ*MR=MP’*MQ’*MR’
Q2 : X, Y et Z sont alignés sur les cotés du triangle ABC, donc d’après Menelaus, XB*YC*ZA=XC*YA*ZB. XBZ et XQM sont semblables de même que XCY et XR’M : XQ/XB=XM/XZ, XR’/XC=XM/XY soit XQ/XR’=(XB/XC)(XY/XZ) ; de même YP/YQ’=(YC/YA)(YZ/XY) et ZR/ZP’=(ZA/ZB)(XZ/YZ) : finalement, XQ*YP*ZR=XR’*YQ’*ZP’
MP’=BQ , MQ’=AR, MR’=CP ; XQ/BQ=MX/MZ, YP/CP=MY/MX et ZR/AR=MZ/MY, donc XQ*YP*ZR=BQ*CP*AR=MP’*MQ’*MR’
Q3 : Aire(PQR)=Aire(MPQ)+Aire(MQR)+Aire(MRP). Si A, B, C désignent les mesures des angles du triangle ABC et d le diamètre du cercle circonscrit, Aire(MPQ)=MP*MQ*sinB=MP*MQ*AC/d=MP*MQ*MR*(AC/AQ’)/d Aire(PQR)=(MP*MQ*MR/d) (AC/AQ’+AB/BP’+BC/CR’ )
De même, Aire(P’Q’R’)=(MP’*MQ’*MR’/d)(AC/CP+AB/AR+BC/BQ).
Or AC/AQ’=BC/BQ , AB/BP’=AC/AP, BC/CR’=AB/AR, donc Aire(PQR)=Aire(P’Q’R’)
