El´ ementaire, mon cher Watson

El´ ementaire, mon cher Watson

Soit le triangleABC. Par le point M du plan, on trace la parall`ele `a BCqui coupeAC enP et AB enP⁰, la parall`ele `a ABqui coupe BC en Qet AC enQ⁰, et la parall`ele `aAC qui coupeABenRet BC enR⁰.

En outre, une droite quelconque passant parM coupeBC enX,AC enY et AB enZ.

Montrer les ´egalit´es :

1/M P ×M Q×M R=M P⁰×M Q⁰×M R⁰ 2/XQ×Y P ×ZR=XR⁰×Y Q⁰×ZP⁰ Comparer avec le r´esultat de Q1.

3/ Aire(P QR) = Aire(P⁰Q⁰R⁰)

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SoientDa,Db etDc les distances deM `aBC,CAet AB.

Da=M Q sin(B) =b M R⁰ sin(Cb)

Db =M P sin(C) =b M Q⁰sin(A)b

Dc =M R sin(A) =b M P⁰sin(B)b

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Tout le reste d´ecoule de ces ´egalit´es.

Question 1 :

M P×M Q×M R=M P⁰×M Q⁰×M R⁰= D_a×D_b×D_c sin(A)b ×sin(B)b ×sin(C)b

Question 2 :

XQ=M P⁰× M X

M Z Y P =M R⁰× M Y

M X ZR= M Q⁰× M Z M Y XR⁰=M P × M X

M Y Y Q⁰=M R× M Y

M Z ZP⁰ =M Q× M Z M X

⇒ XQ×Y P ×ZR=XR⁰×Y Q⁰×ZP⁰=M P ×M Q×M R

Question 3 :

Aire(P QR) = Aire(P M Q) + Aire(QM R) + Aire(RM P)

Aire(P M Q) =M P ×M Q×sin(Ab+Cb) =M P ×M Q×sin(B)b

= D_a×D_b sin(C)b

Aire(QM R) =M Q×M R×sin(A) =b Da×Dc

sin(B)b Aire(RM P) =M R×M P ×sin(C) =b Db×Dc

sin(A)b Aire(P⁰M Q⁰) = M P⁰×M Q⁰×sin(B) =b Db×Dc

sin(A)b = Aire(RM P) Aire(Q⁰M R⁰) = M Q⁰×M R⁰×sin(A) =b Da×Db

sin(Cb) = Aire(P M Q) Aire(R⁰M P⁰) =M R⁰×M P⁰×sin(C) =b D_a×D_c

sin(B)b = Aire(QM R)

⇒ Aire(P QR) = Aire(P⁰Q⁰R⁰)

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