Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚11
G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire de l’espace (partie 2)
Exercice 98 (Projet´e orthogonal d’un point sur une droite) SoitR= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace. Soient les pointsA(1,2,3),B(−1,5,6) etC(11,5,3).
1. D´eterminer les coordonn´ees du projet´e orthogonalH deC sur la droite (AB).
2. Calculer la longueurCH `a l’aide du r´esultat pr´ec´edent.
3. Retrouver le r´esultat de la question 2 `a l’aide d’une formule du cours.
Exercice 99 (Intersection d’une sph`ere et d’une droite) SoitR= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace. Soit S le lieu des points M(x, y, z) de l’espace tels que :
x2+y2+z2−2x+ 4y+ 10z+ 17 = 0.
Soient les pointsA(1,3,−1) etB(0,−1,−3).
1. D´emontrer queS est une sph`ere. Pr´eciser les coordonn´ees de son centre Ω ainsi que son rayon.
2. Calculer la distance de Ω `a la droite (AB). En d´eduire la nature de l’intersection de la sph`ere S avec la droite (AB).
3. D´eterminer les coordonn´ees des points deS ∩(AB).
Exercice 100 (Sph`ere circonscrite et cercle circonscrit) SoitR= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace. Soienta, b, ctrois r´eels non nuls, et soientA(a,0,0), B(0, b,0) etC(0,0, c).
1. Donner l’´equation de la sph`ereS passant par les pointsO, A,B et C.
2. Donner une ´equation du plan P passant parA,B etC.
3. En d´eduire le rayon du cercleC passant par les pointsA,B et C.
Exercice 101 (Sph`ere contenant deux cercles) SoitR= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace.
1. Jutisfier que les ´equations (E1) :
x2+y2= 9
z= 0 et (E2) :
x2+y2= 25 z= 2.
sont des ´equations de cercles.
2. SoientC1 le cercle d’´equation (E1) et soitC2le cercle d’´equation (E2). D´eterminer l’´equation de la sph`ere S contenant les cerclesC1 etC2.
