D 2901 La toile d’araignée (deuxième épisode)

D 2901 La toile d’araignée (deuxième épisode) Solution proposée par Pierre Renfer

On utilise les coordonées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).

On note : D H _a E H _b F H _c

Question 1

1) Coordonnées des six points K, L, M, N, O, P

Si l’angle en A est aigu : AK AE cosA  et AE AB cosA 

Donc : AK AB cos A  ² et BK AB AK AB(1 cos A) AB sin A     ²   ² Si l’angle en A est obtus : AK AE cosA et AE AB cosA

Donc : AK AB cos A  ² et BK AB AK AB(1 cos A) AB sin A     ²   ²

On en déduit que K est barycentre de A et B, avec les coefficients sin A² et cos A² . On obtient donc les coordonnées de K et par analogie celles des cinq autres points :

2 2

sin A K cos A

0

2 2

cos B L sin B

0

²

2

0 M sin B

cos B

²

2

0 N cos C

sin C

2

2

cos C O 0

sin C

2

2

sin A P 0

cos A

2) Cocyclicité des six points K, L, M, N, O, P Un cercle a une équation du type suivant :

2 2 2

sin A yz sin B zx sin C xy (x y z)        (ux vy wz) 0  

L’équation est satisfaite par les coordonnées des six points si l’on choisit les constantes ainsi :

2 2 2

2 2 2

2 2 2

u cos A sin B sin C v cos B sin C sin A w cos C sin A sin B

    

    

    



Les six points sont donc cocycliques.

Question 2

Rappelons le théorème de Céva :

Soit P, Q, R trois points de coordonnées :

0 P p p'

q' Q 0

q

r R r '

0

Alors les droites (AP), (BQ), (CR) sont concourrantes ou parallèles si et seulement si : pqr p'q'r'

On exclut ici le cas des triangles rectangles car alors deux pieds de hauteus fusionnent avec le sommet de l’angle droit ;

Pour les droites (CK), (AM), (BO), comme pour les autres droites (CL), (AN), (BP), la condition de Céva s’écrit : tan A tan B tan C 1²  ²  ² 

Pour les droites (CK), (AM), (BP), comme pour les autres droites (CL), (AN), (BO), la condition de Céva s’écrit : sin B cos B²  ²

Pour les droites (CL), (AM), (BO), comme pour les autres droites (CK), (AN), (BP), la condition de Céva s’écrit : sin C cos C²  ²

Pour les droites (CK), (AN), (BO), comme pour les autres droites (CL), (AM), (BP), la condition de Céva s’écrit : sin A cos A²  ²

Question 3

Les conditions de Céva de la question précédente sont réalités dans les deux cas suivants : - Ou bien l’un des angles du triangle mesure 45° ou 135 °

- Ou bien les angles du triangle vérifient : tanA tanB tanC   1 (1)

On choisit un repeère orthonormé.

On prend pour sommets fixes les points B et C, de coordonnées (-1,0) et (1,0).

Le sommet variable A a pour xoordonnées (x,y).

L’angle B mesure 45° ou 135° si A est sur l’une des droites d’équation y x 1  ou y  x 1 L’angle C mesure 45° ou 135° si A est sur l’une des droites d’équation y x 1  ou y  x 1

L’angle A est 45° ou 135° si A est sur l’un des cercles d’équation x² y²2y 0 ou x²y² 2y 0 Il reste à traduire la condition (1) :

tanB tanC tanA tanB tanC tanA tanB tanC tanB tanC tan(B C) tanB tanC

tanB tanC 1

            

 

tanB y

 x 1

 et y tanC x 1



La condition (1) s’écrit : 2y³   (1 x )² (x ²y² 1)