D 1950 Un zeste de calcul
Solution proposée par Pierre Renfer
On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A, B, C).
1) Coordonnées de P et Q
La bissectrice (L) passe par A et par I, le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.
Les coordonnées de A et I sont : 0 0 1 A
c b a I
L'équation de la droite (L) est donc : bz cy 0
c 0 z
b 0 y
a 1 x
Le point à l'infini sur (L) a pour coordonnées :
c b
c - b -
Le point à l'infini sur la droite (AC) a pour coordonnées :
1 - 0 1
Soit l'involution canonique de la droite de l'infini qui à un point à l'infini d'une direction de droites associe le point à l'infini de la direction orthogonale;
La définition analytique de est :
y ) b c a ( x ) c b a ( z'
x ) c b a ( z ) c b a ( y'
z ) c b a ( y ) b c a ( x'
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
, où xyz0
Le point à l'infini '() de la direction orthogonale à (L) a donc les coordonnées :
c - b
b - c
'
Le point P est à l'intersection des droites (L) et (B')
L'équation de la droite (B') est : cx (b c)z 0 c
- 0 z
b 1 y
b - c 0 x
On en déduite les coordonnées de P :
c b
c - b P
Par symétrie par rapport à B et C on obtient les coordonnées de Q :
c b
b - c Q
2) Coordonnées de R
Le point à l'infini des parallèles à (AB) a pour coordonnées (1, -1, 0).
Donc la parallèle en P à (AB) a pour équation : cx cy (c 2b)z 0 0
c z
1 b y
1 c - b x
Le point à l'infini des parallèles à (AC) a pour coordonnées (-1, 0, 1).
Donc la parallèle en Q à (AC) a pour équation : bx (b 2c)y bz 0 1
c z
0 b y
1 - b - c x
En résolvant le système des deux équations, on trouve les coordonnées de R :
2 2
2
c b
c) - (b - R
3) Calcul de la longueur AS
Par symétrie par rapport à (L) : ASAR
D"après les coordonnées barycentriques de R ; 2bcARb2ABc2AC
Donc : 4b2c2AR2 b4 AB2 c4AC22b2c2ABACb4c2 c4b2 2b2c2bccosA Donc : 4AR2 b2 c2 b2 c2 a2 2(b2 c2)a2
Et : 2(b2 c2) a2 2
AR 1
