D 1843 Un bel alignement

(1)

D 1843 Un bel alignement

Solution proposée par Pierre Renfer

On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A, B, C).

On note a, b, c les longueurs des côtés [BC], [CA], [AB].

1) Coordonnées des points P, D, E

Soient A', B', C' les pieds des hauteurs issues de A, B, C.

Leurs coordonnées sont :

2 2 2

c b a

c b a 0 ' A







2 2 2

c b a 0

c b a ' B







0

c b a

c b a '

C ² ² ²

2 2 2











Le point P est le symétrique de A par rapport à A'.

La somme des coordonnées de A' est 2a²

Les coordonnées de A, de somme moitié, sont :

0 0 a A

2

En retranchant ces coordonnées de A à celle de A', on trouve celles de P :

2 2 2

2

c b a

a P









Le point D est le symétrique de A par rapport à C'.

La somme des coordonnées de C' est 2c²

0 0 c A

2

En retranchant ces coordonnées de A à celle de C', on trouve celles de D :

0

c b a

b a

D ² ² ²

2 2





(2)

Le point E est le symétrique de A par rapport à B'.

La somme des coordonnées de B' est 2b²

0 0 b A

2

En retranchant ces coordonnées de A à celle de B', on trouve celles de E :

2 2 2

2 2

c b a 0

c a E





2) Equation du cercle (ADE)

Un cercle a une équation de la forme : a²yzb²zxc²xy(xyz)(uxvywz)0

Pour le cercle (ADE), on trouve les constantes u, v, w en écrivant que l'équation est satisfaite par les coordonnées des trois points.

Avec le point A, on trouve : u0 Avec le point D, on trouve : vb²a² Avec le point E, on trouve : w c²a² L'équation du cercle est donc :



⁽^b ^a ⁾ ^y ⁽^c ^a ⁾ ^z



⁰

) z y x ( xy c zx b yz

a²  ²  ²     ²  ²   ² ²  

3) Coordonnées des points F et G

Comme point de la droite (PD), le point F a des coordonnées de la forme :

) c b a (

) c b a ( c b a

a b a E

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2





















En écrivant que ces coordonnées vérifient l'équation du cercle (ADE), on trouve :

2 2 2 2

2 2 2 2 2

a ) c b a (

) a c ( ) c b a (













 



(3)

On en déduit les coordonnées de F :

) b c ( ) c b a (

) c b a ( ) c b a (

) c a ( a F

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2



















On obtient les coordonnées de G en échangeant b et c et en échangeant les coordonnées y et z :

) c b a ( ) c b a (

) c b ( ) c b a (

) b a ( a G

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2



















4) Coordonnées du point H et réponse à la question Q1

La droite (BF) a pour équation :

z ) c a ( a x ) b c ( ) c b a ( 0 )

b c ( ) c b a ( 0 z

) c b a ( ) c b a ( 1 y

) c a ( a 0

x

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2







































La droite (CG) a pour équation :

y ) b a ( a x ) b c ( ) c b a ( 0 ) c b a ( ) c b a ( 1 z

) c b ( ) c b a ( 0 y

) b a ( a 0

x

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2







































En résolvant le système, on trouve les coordonnées de H :

) b a ( ) b c ( ) c b a (

) c a ( ) c b ( ) c b a (

) c a ( ) b a ( a H

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2





























Ces coordonnées de h vérifient l'équation du cercle (ABC) : a²yzb²zxc²xy0 Le point H appartient donc au cercle (ABC).

5) Coordonnées du point I

La droite (DE) a pour équation : 0

c b a 0

z

0 c

b a y

c a b

a x

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2











(4)

On trouve : (a² b²c²)x(b² a²)y(c²a²)z0

La droite (FG) a pour équation : 0

) c b a ( ) c b a ( ) b c ( ) c b a ( z

) c b ( ) c b a ( ) c b a ( ) c b a ( y

) b a ( a )

c (a a x

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2







































On trouve : ^a²⁽^^a² ^^b²^^c²⁾^^x^



⁽^b²^^c²⁾²^^a²⁽^c² ^^a²

 

^^y^ ⁽^b² ^^c²⁾²^^a²⁽^b² ^^a²



^^z^⁰

En résolvant le système, on trouve les coordonnées de I :

) c b a ( ) c b a (

) c b ( ) c b a ( a I

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2



























6) Coordonnées du point J

La droite (AG) a pour équation : 0

) c b a ( ) c b a ( 0 z

) c b ( ) c b a ( 0 y

) b a ( a 1

x

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2



















On trouve : (a²b² c²)y(c²b²)z0

La droite (EH) a pour équation : 0

) b a ( ) b c ( ) c b a ( ) c b a ( z

) c a ( ) c b ( ) c b a ( 0

y

) c a ( ) b a ( a c

a x

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2





































On trouve :



⁽^b ^c ⁾ ⁽^b ^c ⁾ ⁽^a ^c



^z ⁰

y ) c b a ( ) b a ( x ) c b a ( ) b c

( ² ²   ² ²  ²   ²  ²  ² ²  ²   ² ² ²  ² ²  ²  ²   En résolvant le système, on trouve les coordonnées de J :

) c b a ( ) c b a (

) c b ( ) c b a (

) c b ( ) c b a ( a J

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

























7) Réponse à la question Q2

Le déterminant dont les trois colonnes contiennent les coordonnées de B, I, J est nul.

Donc les points B, I, J sont alignés;