D164 : Un bel alignement de points
Problème proposé par Pierre Gineste.
On considère trois cercles tangents deux à deux de centres A, B et C. Les points de tangence des cercles pris deux à deux sont respectivement P sur BC, Q sur CA et R sur AB.
Soit I le centre du cercle inscrit au triangle ABC . On trace les deux cercles tritangents aux trois cercles, le plus petit ayant pour centre J et le plus grand qui englobe les trois autres ayant pour centre K.
Démontrer que les droites AP, BQ et CR se coupent en un même point L et que les quatre points I, J, K et L sont alignés.
Soient rA, rB, rC, les rayons des cercles de centre A, B, C, et a, b, c, les longueurs de BC, CA, AB. Nous avons donc a=rB+rC, b=rC+rA, c=rA+rB, donc AQ=AR=rA=(b+c-a)/2,
BR=BP=rB=(c+a-b)/2, CP=CQ=rc=(a+b-c)/2.
Nous utiliserons les coordonnées barycentriques par rapport à A, B, C. Le centre I du cercle inscrit a pour coordonnées barycentriques (a ; b ; c).
Puisque (BP/CP)*(CQ/AQ)*(AR/BR)=1, les droites AP, BQ, CR sont des céviennes, et se coupent en un même point L (point de Gergonne), dont les coordonnées
barycentriques sont (1/rA ; 1/rB ; 1/rC).
J et K sont les centres des cercles de Soddy : J est le centre du cercle intérieur ou point d’égal détour, et K centre du cercle extérieur ou point isopérimétrique.
http://mathworld.wolfram.com/SoddyCenters.html, donne pour fonction centre associée à ces points ±1+bc/(2(-a+b+c)R)=±1+S/arA (si S désigne l’aire du triangle ABC)
Leurs coordonnées barycentriques sont donc pour J : (S/rA+a, S/rB+b, S/rC+c) et pour K : (S/rA-a, S/rB-b, S/rC-c).
En faisant la somme et la différence des coordonnées barycentriques de J et K, on voit que les points I, J, K et L sont alignés.
