D 1896 Perspectives
Solution proposée par Pierre Renfer
On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A, B, C).
On note a, b, c les longueurs des côtés [BC], [CA], [AB].
Les points de départ on pour coordonnées :
a b c c a b
b c a 0 a b c 0
B 0 C c a A b B 0 C b A c a
c 0 a b a b 0 c
QUESTION 1
En multipliant les coordonnées de Ab par b et celle de Ba par a, on obtient pour les deux points des coordonnées de même somme.
Par différences de ces coordonnées, on obtient celles du point à l’infini U de la droite (A B )b a : a (b c )
U b (a c ) c (a b)
L’involution canonique de la droite de l’infini transforme un point à l’infini d’une direction de droites en le point à l’infini de la direction orthogonale.
Sa définition analytique est a :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x ' (a b c )y (a b c )z y ' (a b c )z ( a b c )x
z ' ( a b c )x (a b c )y
On en déduit les coordonnées de (U) :
a (c b)(a b c )( a b c ) 2abc (U) b (c a)(a b c )(a b c ) 2abc
c (a b)( a b c )(a b c ) 2abc
Les coordonnées de O et Ic sont :
2 2 2 2
2 2 2 2
c
2 2 2 2
a ( a b c ) a O b (a b c ) I b
c (a b c ) c
La somme des coordonnées de O est : S (a b c ) ( a b c ) (a b c ) (a b c )
On multiplie les coordonnées de Ic par (a b c ) ( a b c ) (a b c ) pour obtenir la même somme des coordonnées que pour O.
Les coordonnées du point à l’infini de la droite (O Ic) s’obtiennent alors par différence des coordonnées des points O et Ic.
On vérifie que le point à l’infini de (O Ic) coïncide avec le point (U).
Les droites (A B )b a et (O Ic) sont donc orthogonales.
Par permutation circulaire de a, b, c et des coordonnées x, y, z, on montre de même l’orthogonalité des droites (B C )c b et (O Ia), puis des droites (C A )a c et (O Ia).
QUESTION 2
La droite (A B )b a a pour équation :
x 0 b c y a c 0 0
z c c
On obtient : c (a c )x c (a c )y (a c ) (b c )z 0
La droite (A C )c a a pour équation :
x 0 b c
y b b 0
z a b 0
On obtient : b (a b)x (a b) (b c ) y b (b c )z 0
En résolvant le système, on obtient les coordonnées de D :
a (b c )(a b c ) D b (a c )(a b c )
c (a b)(a b c )
Par permutation circulaire de a, b, c et des coordonnées x, y, z, on trouve les coordonnées de E, F :
a (b c )(a b c ) a (b c )(a b c ) E b (a c )(a b c ) F b (a c )( a b c )
c (b a)( a b c ) c (b a)(a b c )
2
2abc ACa 2ab AB
2abc AD b (a c )(a b c )AB c (a b)(a b c )AC
En additionnant les deux relations, on obtient :
2abc DC (a b c ) b (a c )AB c (a b)ACa
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a
2 2 2 2 2 2
2 3 3 3 2 2 2 2 2 2
4a b c DC (a b c ) b (a c ) c c (a b) b 2b c (a c )(a b)cos A (a b c ) bc bc (a c ) bc (a b) (a c )(a b)( a b c ) (a b c ) abc a b c 3abc a b a c b a b c c a c b
2
2abc CAc 2b c CB
2abc CF a (b c )(a b c )CA b (a c )(a b c )CB
En additionnant les deux relations, on obtient :
2abc FA (a b c ) b (c a)CB a (b c )CBc
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
c
2 2 2 2 2 2
2 3 3 3 2 2 2 2 2 2
4a b c FA (a b c ) b (c a) a a (b c ) b 2a b (c a)(b c )cosC (a b c ) bc ab (c a) ab (b c ) (c a)(b c )(a b c ) (a b c ) abc a b c 3abc a b a c b a b c c a c b
Donc : DCa FAc
Par permutation circulaire sur a, b, c, on en déduit : EAb DB et FBa c EC b
QUESTION 3
Soit le point défini par : 2 O IO Le point est le barycentre de (O, 3) et (I, -1)
La somme des coordonnées de O est : S (a b c ) ( a b c ) (a b c ) (a b c )
On multiplie les coordonnées (a,b,c) de I par ( a b c ) (a b c ) (a b c ) pour que a somme des coordonnées de I soit égale à la somme de celle de O.
Les coordonnées de sont donc :
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
3a ( a b c ) a ( a b c )(a b c )(a b c ) K 3b (a b c ) b ( a b c )(a b c )(a b c )
3c (a b c ) c ( a b c )(a b c )(a b c )
On va calculer la distance D.
On note (x,y,z) les coordonnées de D et (u,v,w) celles de ;
2abc AD y AB z AC 2S A v AB w AC
Par combinaison linéaire de ces relations, on obtient :
2abc S D (y S ab v )AB (z S abc w)AC
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
4a b c S D c (yS abcv ) b (zS abcw ) 2bc (yS abcv )(zS abcw )cos A c (yS abcv ) b (zS abcw ) ( a b c )(yS abcv )(zS abcw )
On en déduit :
2 3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 2 2
4abcS D (a b c 3abc a b a c b c c b b a c a) (a b c 3abc b c b a c a a c c b a b) (a b c 3abc c a c b a b b a a c b c )
L’expression obtenue est invariante par permutation circulaire sur a, b, c.
Donc les distances D, EFsont égales et est le centre du cercle (DEF).
QUESTION 4
On va déterminer le point d’intersection K des droites (AD) et (OI).
Comme point de (OI), le point K a des coordonnées du type :
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a ( a b c ) a K b (a b c ) b
c (a b c ) c
On trouve la constante en écrivant que ces coordonné es vérifient l’équation de (AD) :
2 2 2 2
2 2 2 2
b (a b c ) b b (a c )(a b c ) 0 c (a b c ) c c (a b)(a b c )
3 3 3 2 2 2 2 2 2
a b c a b a c b a b c c a c b
Comme est symétrique en a, b, c, les coordonnées de K sont invariantes par permutation circulaire de a, b, c, puis des coordonnées x, y, z.
Donc le point K appartient aussi aux droites (BE) et (CF).
