D 1881 A votre convenance Solution proposée par Pierre Renfer

(1)

D 1881 A votre convenance

Solution proposée par Pierre Renfer

On va utiliser les coordonnées barycentriques dans le repère (N, A, B).

On note :

a AB b NB c NA

  

 



1) Coordonnées des points

Le cercle ₁ a une équation du type : a yz b zx c xy (x y z)²  ²  ²    (ux vy wz) 0   En écrivant que les coordonnées de N et A vérifient l’équation, on trouve : u v 0  L’intersection de ₁ et de (AB), d’équation x 0 , est réduite au point A. Donc : w a² L’équation de ₁ est donc : b zx c xy a(x z)z 0²  ²  ²   

(2)

En échangeant b et c et les coordonnées y et z, on en déduit l’équation de ₂ : b zx c xy a(x y )y 0²  ²  ²   

La différence des deux équations donne l’équation de l’axe radical : y z 0  Il s’agit de la médiane du triangle NAB, issue de N, ce qui peut constituer une propriété P₇

En remplaçant z par y dans l’équation de ₁, on trouve les coordonnées de M :

2

2 2 2

a

M a b c a b c

  

   La parallèle en M à (AB) passe par le point à l’infini de coordonnées (0, 1, -1).

Son équation est donc:

2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

x 0 a

y 1 a b c 2( a b c )x a (y z) 0

y 1 a b c

           

   

(1)

On en déduit les coordonnées de P et Q :

2

2 2 2

a

P 2( a b c ) 0

   

2

2 2 2

a Q 0

2( a  b c )

Pour obtenir les coordonnées de C, on remplace, dans l’équation de ₁, x en fonction de y et z à l’aide de (1) :

2 2 2 2 2 2 2 2 2

c y ( a   b c )yz (a  b 2c )z 0

Le discriminant est :    ( a² b²3c )^{2 2}

Donc : ²



² ² ² ² ² ²



2 2 2 2

2c y a b c ( a b 3c ) z 2c z ou 2(a b 2c )z

        

    

La première solution correspond au point M et la seconde au point C.

On obtient :

2

2 2 2

2

a

C 2( a b 2c ) 2 c

   

 

En échangeant b et c et les coordonnées y et z, on en déduit :

2 2

2 2 2

a D 2 b

2( a 2b c )

 

   

(3)

L’équation de la droite (CA) est :

2

2 2 2 2 2

2

x 0 a

y 1 2(a b 2c ) 2c x a z 0

y 0 2c



       

L’équation de la droite (DB) est :

2

2 2 2

x 0 a

y 0 2 b 2b x a z 0

y 1 2(a 2b 2c )



      

 

On en déduit les coordonnées de E :

2 2 2

a E 2 b 2 c





Les deux dernières coordonnées du point E montrent que E appartient à la symédiane issue de N dans le triangle NAB, car le point de Lemoine du triangle NAB a les coordonnées :

2 2 2

a L b c Ce résultat peut constituer une propriété P₈

2) Calculs de distances

Soient U et U deux points de coordonnées(₁ ₂ x , y , z )₁ ₁ ₁ et( x , y , z )₂ ₂ ₂ , de même somme s.

Alors : ¹ ¹ ¹

2 2 2

s NU y NA z NB s NU y NA z NB

  

     



     



En posant ² ¹

2 1

y y y z z z

  



 

 , on obtient par différence : s U U ^_{1 2}  y NA z NB^ ^

Donc :

2 2 2 2 2 2

1 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

s U U c y b z 2yz NA NB c y b z 2 yz bc cosN c y b z ( a b c )yz

 



       

       

        

(1)

Les coordonnées des points C, D, E ont par bonheur la même somme s 2b ²2c²a². Pour le point N, on prendra les coordonnées (s, 0, 0). La formule (1) donne alors :

2 a c2 2

EC 4

  s ED² 4 a b^{2 2}

  s NE² 4 b c^{2 2}

  s NC² 4 c⁴

  s

2 b4

ND 4

  s

(4)

3) Démonstration des propriétés

Propriété P₁

La médiatrice de [PQ] passe par le milieu M de [PQ] et par le point à l’infini

2

2 2 2

2 a a b c

a b c

 

  

 

On vérifie que le déterminant dont les trois colonnes contiennent les coordonnées de E, M,  est nul.

Les trois points sont donc alignés et : EP=EQ

Propriété P₂

Les coordonnées C et E ont la même somme des coordonnées.

On obtient donc les coordonnées du milieu de [CE] en additionnant celles de C et celles de E.

On observe que ce milieu est A.

On montre de même que le milieu de D et E est B.

L’homothétie h, de centre E, de rapport 2, transforme le segment [AB] en le segment [CD].

Donc : CD=2 AB

Propriété P₄

L’équation du cercle (NAB) est : a yz b zx c xy 0²  ²  ²  Les coordonnées du point E vérifient cette équation.

Donc les points N, A, B, E sont cocycliques.

Propriété P₅

Le calcul des distances ci-dessus montre que : ^{NC NE CE c} NE ND ED b  

Les triangles NCE et NED sont donc semblables.

(5)

Propriété P₃

Comme les triangles NCE et NED sont semblables les angles CNE et END sont égaux.

Donc (NE) est bissectrice de l’angle CND.

Propriété P₆

La droite (EN) coupe la droite (AB) en F et la droite (CD) en G.

Les coordonnées de E montre que les coordonnées de F sont : ²

2

0 F b c

Le point F est barycentre de (A, b²) et (B, c²)

Donc e point G, image de F par l’homothétie h, est barycentre de (C, b²) et (D, c²).

Comme les longueurs ED et EC sont proportionnelles à b et c, le point G est le pied de la symédiane issue de E dans le triangle CED.

Cette symédiane est donc la droite (EN).