D1905-Dichotomies en série Solution proposée par Pierre Renfer 1) Le point J

D1905-Dichotomies en série

Solution proposée par Pierre Renfer 1) Le point J

On considère les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).

Soient a,b,c les longueurs des côtés [BC], [CA], [AB].

Les coordonnées du centre I du cercle inscrit sont (a, b, c).

On cherche les coordonnées du point J :

Soit U le point de [AB] tel que : ABBUACCU Soient xBU et yCU

Alors :















y b x c

a y x

On trouve : 2xabc et 2yabc

Le point U est donc barycentre de (B,abc) et (C,abc).

Par permutation circulaire on trouve les coordonnées des points V et W tels que : AV

BA CV

BC   et CAAW CBBW :

Le point V est barycentre de (C,abc) et (A,-abc). Le point W est barycentre de (A,-abc) et (B,abc).

On en déduit que le point de coordonnées (abc,a-bc,ab-c) appartient aux trois droites (AU), (BV) et (CW) :Il s'agit du point J.

Ces coordonnées du point J ont la même somme que celle du point I.

On obtient donc facilement les coordonnées du milieu de [IJ] en additionnant les coordonnées de I et J .

On trouve pour le milieu les coordonnées (b+c, c+a, a+b).

Remarque : Soient U₁, U₂, U₃ les points de contact avec les droites (BC), (CA), (AB) du cercle exinscrit face à A.

Alors : ABBU₁ ABBU₃ AU₃ AU₂ ACCU₂ ACCU₁ Donc le point U coïncide avec le point U

De même V est le point de contact avec la droite (CA) du cercle exinscrit face à B.

Et le point W est le point de contact avec la droite (AB) du cercle exinscrit face à C.

Le point J est donc le point de Nagel du triangle ABC.

2) Le point K

Soient A', B', C' les milieux de [BC], [CA], [AB].

Supposons : abc;

Soit D le point de [AC] tel que : A'BBAAD A'CCD Le point D est barycentre de (A,bc) et (C,bc).

Soit E le point de [BC] tel que : B'AABBEB'CCE Le point E est barycentre de (B,ac) et (C,ac).

Soit F le point de [BC] tel que : C'AACCFC'BCF Le point F est barycentre de (B,ab) et (C,ab).

La droite (A'D) a pour équation : (b c)x (b c)y (b c)z 0 c

b 1 z

0 1 y

c b 0 x



















La droite (B'E) a pour équation : (a c)x (c a)y (a c)z 0 c

a 1 z

c a 0 y

0 1 x





















La droite (C'F) a pour équation : (a b)x (a b)y (a b)z 0 b

a 0 z

b a 1 y

0 1 x



















En résolvant le système on trouve que le point d'intersection K des trois droites a pour coordonnées (b+c, c+a, a+b), qui sont celles du milieu de [IJ].