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est le point de Nagel du même triangle (comme le suggère le titre)

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Academic year: 2022

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D1956. Une promenade nagelienne

Les deux côtés d’un triangle acutangle ABC ont pour longueur l’un 11 et l’autre 10. Le point de concours des trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés du triangle avec les cercles exinscrits est sur le cercle inscrit. Calculer la longueur du troisième côté.

Soit le centre du cercle inscrit de rayon , et le centre de gravité du triangle . est le point de Nagel du même triangle (comme le suggère le titre).

D'où la relation : = 2

(http://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/triangle_pt_caract.html#nagel)

Les trois points H,G et I sont alignés sur la droite de Nagel (justement), on a : = + = 3. Le point N est situé sur le cercle inscrit, donc 3 = .

D'autre part, comme chacun sait, on a :

= 2 + +

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cercles_inscrit_et_exinscrits_d%27un_triangle = 1

4 ( + + )(− + + )( − + )( + − ) formule de Héron

= 1

3− − 2 − 2 + − 2 + 9 − 2 − 2− 2+ + +

http://mathworld.wolfram.com/Incenter.html

Il reste à résoudre l'équation en : = /3 ou mieux : −= 0 avec = 11 et = 10 =1

9 .−+ 42− 548 + 2289 + 21

9 = 1

9 .1

4 .−+ 21+ − 21 + 21

On obtient :

− 49+ 731 − 3059 = 0 ( − 7)( − 19)( − 23) = 0

• = 23 impossible : un coté ( = 23) ne peut être plus grand que la somme des deux autres ( + = 11 + 10 = 21).

• = 19 le triangle ABC possède un angle obtus.

$ = %& '+ −

2 ( = 129.52°

• = 7 c'est la seule solution.

Références

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