D10442. Centres et barycentre
Quel point remarquable du triangle est l’isobarycentre des 4 centres des cercles inscrit et exinscrits ?
Solution
SoitABC le triangle, I, Ja, Jb, Jc les centres des cercles inscrit et exinscrits dans l’angleA, B, C respectivement.
JbJc est la bissectrice extérieure de l’angleA, perpendiculaire àIJa, bissec- trice intérieure. De même pour JcJa et IJb, puis JaJb et IJc. Ainsi I est orthocentre du triangle JaJbJc. Soit K le centre de gravité de ce triangle, IK est sa droite d’Euler ; l’isobarycentre de l’énoncé est entre I etK, trois fois plus près de K que de I. C’est le milieu du segment IL, où L, autre point de la droite d’Euler trois fois plus proche deK que deI, est le centre du cercle circonscrit àJaJbJc. Le point cherché est donc le centre du cercle d’Euler du triangleJaJbJc, qui passe par les pieds A, B, C de ses hauteurs Le point cherché est le centre du cercle circonscrit au triangleABC. Remarques.
1) Jean-Nicolas Pasquay et Pierre Moutton rappellent la propriété : si quatre points sont les sommets et l’orthocentre d’un triangle, chaque triangle formé par trois des points a pour orthocentre le quatrième. En outre, ils ont même triangle “pédal” (des pieds des hauteurs) et donc même cercle d’Euler, dont le centre est l’isobarycentre des quatre points.
2) Remi Planche observe que, par l’orthogonalité des bissectrices, B et C appartiennent aux cercles de diamètreIJaetJbJc. Les centres Ma etNade ces cercles, milieux deIJaetJbJc, sont sur la médiatrice deBC, ainsi que le milieu deMaNaqui est l’isobarycentre cherché. De même les médiatrices de CA etAB contiennent respectivement les segments MbNb et McNc définis de façon analogue, d’où la conclusion.
