D 1837 Passage obligé
Solution proposée par Pierre Renfer
Le passage est encore plus obligé que ne l’envisage l’énoncé.
Le point D n’intervient pas. On va montrer que pour tout choix de E sur (AB) et de F sur (AC), l’axe radical des cercles de diamètres [BF] et [CE] passe par un point fixe.
Si E, F et A sont confondus, les points communs aux deux cercles sont A et le pied de la hauteur issue de A.
L’axe radical des deux cercles est donc la hauteur issue de A.
Si E est rejeté à l’infini sur (AB), le cercle de diamètre [CE] devient l hauteur issue de C et l’axe radical devient cette même hauteur.
Si F est rejeté à l’infini sur (AC), le cercle de diamètre [BF] devient l hauteur issue de B et l’axe radical devient cette même hauteur.
Le point fixe, s’il existe, ne peut donc être que l’orthocentre H du triangle ABC.
On va démontrer qu’effectivement la puissance de H par rapport à tous les cercles de diamètres [BF] et [CE] est constante.
On va utiliser les coordonnées barycentriques par rapport au repère affine (ABC).
On notera comme d’habitude a, b, c les longueurs des côtés [BC], [CA], [AB].
1) Calcul de distances
Pour calculer la distance entre deux points M et M', on utilise leurs coordonnées barycentriques )
, ,
( et (',','), de même somme .
Alors :
AC ' AB ' ' AM
AC AB
AM et
MM' y AB zAC , avec
' z
' y
' x
Donc : s2MM'2c2y2b2z22bccosAxyc2y2b2z2 (a2 b2 c2)yz
2) Puissance de H par rapport à un cercle de diamètre [BF]
Le point F a pour coordonnées de la forme :
u 0
u - 1 F
Le milieu J de [BF] a pour coordonnées :
u 1
u - 1 J
Le point H a pour coordonnées :
) c b a ( ) c b a (
) c b a ( ) c b (a
) c b a ( ) c b (a H
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
La puissance de H par rapport au cercle de diamètre [BF] est égale à :
4 HJ2 BF2
On calcule BF2 à l’aide de 1), avec :
u z
1 y
1
2 2
2 2 2
2
2 b u (a b c )u c
BF
La somme S des coordonnées de H est : S(abc)( abc)( abc)( abc)
On calcule HJ2 à l’aide de 1), avec :
u S ) c b a ( ) c b a ( 2 z
S ) c b a ( ) c b a ( 2 y
S 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
S ) c b a ( ) c b a ( ) c b a ( 2
c S u ) c b a ( S u b S HJ S 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
Donc : 4S22( a2 b2 c2)( a2b2 c2)( a2 b2 c2)S Et :
) c b a ( ) c b a ( ) c b a ( ) c b a ( 2
) c b a ( ) c b a ( ) c b a
( 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Par symétrie, on obtient la même valeur pour la puissance de H par rapport au cercle de diamètre [CE].
