D 1986 L'orth-au-centre Solution proposée par Pierre Renfer

(1)

D 1986 L'orth-au-centre

Solution proposée par Pierre Renfer

On note comme d'habitude a, b, c, les côtés du triangle ABC.

On note R le rayon du cercle circonscrit et r celui du cercle exinscrit face à A. _A On note S l'aire du triangle ABC et p son demi périmètre.

1) Une relation entre a,b,c, équivalente à l'égalité Rr_A

On sait que :









 



a p r S

S 4 R abc

A

L'égalité Rr_A équivaut donc à l'égalité (1) suivante : 4S² abc(pa) La formule de Héron permet d'écrire (1) sous la forme :4p(pb)(pc)abc

En développant, on obtient : a³ b³ c³ a²ba²cb²cbc² ab² ac² (1)

2) Coordonnées barycentriques des points dans le repère affine (A,B,C) Les points A', B', C' du cercle exinscrit, face à A, ont pour coordonnées :

c - p

b - p 0 '

A p 0

p - b '

B 0 p

p - c ' C

Le centre O du cercle circonscrit a pour coordonnées :

cosC c

cosB b

cosA a

O



ou

) c b (a c

) c b a ( b

) c b a ( a O

2 2 2 2



















3) Expression analytique de l'involution canonique

L'involution canonique  transforme un point à l'infini d'une direction de droites en le point à l'infini de la direction orthogonale.

(2)

Si un point à l'infini  a pour coordonnées (u, v, w), (avec uvw0), dans le repère affine (A,B,C), alors le point () a pour coordonnées (u', v' w'), avec :



























B tan

v A tan ' u w

A tan

u C tan ' w v

C tan

w B tan ' v u

Comme une homographie d'une droite est déterminée par les images de trois points, il suffit, pour démontrer cette expression analytique, de la vérifier pour les points à l'infini des trois côtés du triangle ABC.

Le point à l'infini de la droite (BC), de coordonnées (0,1,-1), a pour image par  le point à l'infini de la hauteur issue de A, de coordonnées (tanBtanC ,tanB ,tanC). C'est bien l'image que fournit l'expression analytique, à un facteur multiplicatif près.

Par permutation circulaire, la formule vaut aussi pour les points à l'infini de (CA) et de (AB).

On remplace (u', v', w') par (u,'v,'w') R

abc et alors l'expression analytique s'écrit aussi :

























































v ) b a c ( u ) a c b ( ' w

u ) a c b ( w ) c b a ( ' v

w ) c b a ( v ) b a c ( ' u

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

4) Solution du problème

Equation de la droite (A'B') : 0 p(p b) x (p b)(p c) y (p b) z p

c - p z

0 b - p y

p - b 0 x

 2













En simplifiant par p-b, on obtient : px(pc)y(pb)z0 Le point  à l'infini sur la droite (A'B'), vérifie de plus l'équation xyz0 On obtient ses coordonnées :

b a

b -

a -





La hauteur du triangle A' B' C', issue de C', passe par (), de coordonnées :

) c p ( p ) b a ( 4 ) b a c ( b ) a c b a(

-

) c p ( bp 4 ) a c b ( a ) c b a b)(

(a

) c p ( ap 4 ) c b a )(

b a ( ) b a b(c - ) (

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2







































 ou

b a b a - ) (







(3)

Equation de la hauteur du triangle A' B' C', issue de C' :

z ) b a )(

c b a ( y ) b a )(

c b a ( x ) b a )(

c b a ( 0 b - a 0

z

b c b a y

a - c b - a - x

























En exprimant que les coordonnées du centre O du cercle circonscrit vérifient cette équation, on obtient la relation :

0 ) ac ab bc c b c a b a c b a )(

c b a )(

b a

(       ³  ³  ³  ²  ²  ²  ² ² ² 

En simplifiant par les facteurs (ab), (abc) et (abc), qui sont strictement positifs, on retrouve la relation (1).

Par symétrie entre b et c, la relation (1) est aussi équivalente à l'appartenance de O à la hauteur issue de B'.

La relation Rr_A est donc bien équivalente à l'égalité entre O et l'orthocentre du triangle A' B' C'.