D1978 Deux solutions sinon rien Solution proposée par Pierre Renfer 1) Une banale solution analytique
On choisit le rayon du cercle comme unité de longueur.
On choisit un repère orthonormé tel que les points A, B, P aient les coordonnées suivantes : 0
1 A -
0
B 1 0
a
P - , avec a>1
On calcule les coordonnées des autres points.
Le point T appartient au cercle de diamètre [AB] et au cercle de diamètre [PO].
Les équations des deux cercles sont :
0 ax y x
1 y x
2 2
2 2
On en déduit les coordonnées de T :
a 1 a a -1
T 2
On calcule le coefficient directeur t de la droite (PT) :
1 a t 1
2
On en déduit les coordonnées de I et J :
) 1 a ( a
1 a a
1 - t a
a -1
I 2
) 1 a ( a
1 a a
1 t a -
a - 1
J 2
Le milieu M de [PT] a pour coordonnées :
a 2
1 a
2a 1 -a
M 2
2
On obtient les vecteurs :
a 2
1 a
2a ) 1 -(a
BM 2
2
) 1 a ( a
1 a
a 1 -a
BI 2
) 1 a ( a
1 - a
a 1 a
AJ 2
Donc : BI
2 1
BM a et AJ
2 1 AM a
Les points M, B, I sont bien alignés ainsi que les points M, A, J.
2) Une solution sans calculs grâce aux homographies
Soit K le point d'intersection des droites (PO) et (IJ).
La droite (IJ) est la polaire du point P par rapport au cercle. .
Donc les points P et K sont conjugués par rapport aux points A et B, ce qui s'exprime par la division harmonique :
P,K,A,B
1.La projection affine de la droite (PO) sur la droite (IJ), parallèlement à (PT), conserve les birapports.
Donc :
T,K,,IJ
1Soit M le point d'intersection des droites (BI) et (AJ).
La projection centrale, de centre M, de la droite (IJ) sur la droite (PO) transforme les points T, K, I, J en les points T', K, B, A respectivement.
Comme cette homographie conserve les birapports :
T,'K,B,A
1Mais comme par ailleurs
P,K,A,B
1, on conclut que T' et P coïncident et que le point M appartient à la droite (PT).Soit le point à l'infini de la droite (PT).
La projection centrale, de centre I, de la droite (PO) sur la droite (PT) transforme les points P, K, B, A en les points P, T, M, respectivement.
Donc :
P,T,M,
1Ceci signifie que M est le milieu de [PT].
