D291. A la crois´ ee des chemins
On peut s’affranchir du polygone r´egulier pourvu que les 7 arcs qui participent au probl`eme soient ´egaux, que le point baptis´eAnsoit diam´etralement oppos´e
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a A1 surΓ, et que les arcsAnAn−1et An−1An−2 soient construits `a partir deAn.
Soit donc le cercle unitaire Γ centr´e enO origine du syst`eme d’axes Ox/Oy, et A1au point (0, 1).
Les segmentsD2 et D4 joignent des points sym´etriques par rapport `a Ox, ils sont aussi sym´etriques par rapport `a Ox. D2 est parall`ele `a A2An, D4 est parall`ele `a A1An−1 : ils se coupent en P sur Ox avec des pentes oppos´ees
±tg(α/2).
L’abcisse deP est fournie par l’´equationcosα−1/tgα(x−sinα) = 0. En fonction det=tg(α/2), on aboutit `a : xP = t(3−t2)
1 +t2
D5 est parall`ele `a A2nA1. D1 et D5 ont aussi des pentes oppos´ees ±tgα.
L’abcisse deQest fournie par l’´equation
1−x×tgα= cosα+tgα(x−sinα), soitx= 1−cosα−tgα×sinα 2×tgα . En fonction detcomme pr´ec´edemment, on aboutit `a : xQ = t(3−t2)
2(1 +t2) xQ= 1/2xP ⇒ le triangle OPQ est isoc`ele,
quod erat demonstrandum.
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