Enoncé D159 (Diophante) A chacun son tour
Un point P à l’intérieur d’un triangle ABC se projette enD,E etF sur les droites BC, CA et AB. Déterminer la position de P dans les quatre cas suivants :
– le produit P D.P E.P F est maximal, – la somme DE+EF+F D est minimale, – la somme BD2+CE2+AF2 est minimale,
– la somme BC/P D+CA/P E+AB/P F est minimale.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Je note S, SA, SB, SC les aires des triangles ABC, P BC, P CA, P AB.
SA.SB.SC = (P D.P E.P F)(BC.CA.AB)/8.
La position de P qui maximiseP D.P E.P F maximiseSA.SB.SC, produit de trois termes positifs de somme S. Cela est obtenu quand SA =SB = SC =S/3, ce qui fait de P le centre de gravitéGdu triangle ABC.
On a alors P D.P E.P F = 2S2/(27R).
Question 2
DE est une corde du cercle de diamètre P C, vue de C sous l’angle C, comme l’est la corde AB du cercle circonscrit au triangle ABC, de rayon R.
Ainsi DE=P C.sinC=P C.AB/(2R).
Il s’agit donc de minimiser BC.P A+CA.P B+AB.P C.
Cette expression est l’énergie potentielle d’un point matériel P attiré vers A, B, C par des forces proportionnelles àBC, CA, ABrespectivement. Ces forces entraînent P jusqu’à la position d’énergie potentielle minimale où elles s’équilibrent.
A l’équilibre, le polygone de composition des forces est semblable au tri- angle ABC; les côtés BC, CA, AB sont vus de P sous les angles π−A,
π−B,π−C.
Les arcs capables correspondants sont les symétriques ds arcsBC, CA, AB du cercle circonscrit par rapport aux cordes qui les sous-tendent. Leur point commun est l’orthocentreH du triangleABC.
AlorsDE+EF+F D= 2S/R.
Question 3
Je noteA0, B0, C0 les milieux des côtés BC, CA, AB. Par Pythagore BD2+CE2+AF2 =P B2+P C2+P A2−P D2−P E2−P F2 =
=CD2+AE2+BF2 =
= (BD2+CD2)/2 + (CE2+AE2)/2 + (AF2+BF2)/2 = par le théorème de la médiane
= (DA02+EB02+F C02) + (A0B2+B0C2+C0A2).
Le minimum est obtenu en annulant la première parenthèse, ce qui corres- pond à placerP au centre O du cercle circonscrit.
Question 4
La somme de l’énoncé s’écrit BC2 2SA
+ CA2 2SB
+ AB2 2SC
, à minimiser sous la contrainteSA+SB+SC =S.
La méthode du multiplicateur de Lagrange conduit à minimiser BC2
2SA +CA2
2SB +AB2
2SC +L(SA+SB+SC).
On obtientL= BC2
2SA2 = CA2
2SB2 = AB2 2SC2 , d’où 2SA
BC = 2SB
CA = 2SC
AB =P D =P E=P F, P est le centre du cercle inscrit.
La somme de l’énoncé vaut alors (BC+CA+AB)2/(2S).
