D291. A la croisée des chemins
Zig part du sommet A1 d'un polygone régulier A1A2A3...A2n de 2n côtés et de centre O. Il parcourt en ligne droite la diagonale A1A3, puis la diagonale A3An, puis le côté AnAn-1, puis la diagonale An-1A2 qui croise la diagonale A3An au point P, puis la diagonale A2A2n-2 qui croise la diagonale A1A3 au point Q.
Démontrer que le triangle QOP est isocèle de sommet Q.
Solution proposée par Bernard Grosjean
Illustration ci-dessous avec un polygone de 16 côtés
Repèrons le polygone régulier en l’inscrivant dans un cercle de rayon unitaire centré à l’origine . Les sommets du polygone qui nous intéressent ont pour coordonnées :
A1 : (1 ; 0) A2 : cos(π/n) ; sin(π/n) A3 : cos(2π/n) ; sin(2π/n) An-1 : cos([n-2]π/n) ; sin([n-2]π/n) An : cos([n-1]π/n) ; sin([n-1]π/n) A2n-2 : cos([2n-3]π/n) ; sin([2n-3]π/n)
Calcul des coordonnées du point P
P est le point d’intersection des droites A3An et A2An-1
remarque : on observe sans calcul que ces 2 droites sont symétriques par rapport à OY. L’abscisse de P est nulle.
Equation de la droite A3An
Y = mX + b
Passe par A3 : sin(2π/n) = m cos(2π/n) + b
Passe par An : sin([n-1]π/n) = m cos([n-1]π/n) + b On en déduit
m = {sin([n-1]π/n) – sin(2π/n)}/{cos([n-1]π/n) - cos(2π/n)}
soit, après mise sous forme de produits du numérateur et du dénominateur et simplification : m = - cotg[(n+1)/2n]π
et b (à partir de A3) : b = sin(2π/n) + cotg[(n+1)/2n]π*cos(2π/n) soit b = [cos[(n+1)/2n]π*cos(2π/n)]/ sin[(n+1)/2n]π + sin(2π/n)
= [cos(n+1)/2n]π*cos(2π/n) + sin[(n+1)/2n]π*sin(2π/n)]/ sin[(n+1)/2n]π = cos[(n-3)/2n]π/ sin[(n+1)/2n]π soit finalement :
b = sin[3/2n]π/ cos(π/2n)
L’ équation de la droite A3An est : Y = - cotg[(n+1)/2n]π*X + sin[3/2n]π/ cos(π/2n)
et, par symétrie par rapport à OY,
celle de la droite A2An-1 Y = cotg[(n+1)/2n]π*X + sin[3/2n]π/ cos(π/2n) Le point P a donc pour coordonnées XP = 0 et YP = sin[3/2n]π/ cos(π/2n)
Calcul des coordonnées du point Q
Q est le point d’intersection des droites A1A3 et A2A2n-2
Equation de la droite A1A3
Y = mX + b
Passe par A3 : sin(2π/n) = m cos(2π/n) + b Passe par A1: 0 = m + b
On en déduit
m = - b = [sin(2π/n)]/[cos(2π/n) – 1]
L’ équation de la droite A1A3 est : Y = [sin(2π/n)]/[cos(2π/n)] – 1]*(X – 1) = - cotg(π/n)*(X - 1)
Equation de la droite A2A2n-2 Y = mX + b
Passe par A2 : sin(π/n) = m cos(π/n) + b
Passe par A2n-2 : sin([2n-3]π/n) = m cos([2n-3]π/n) + b On en déduit :
m = [sin([2n-3]π/n) - sin(π/n) ]/[cos([2n-3]π/n) - cos(π/n) ]
soit après mise sous forme de produits les numérateur et dénominateur et simplification m = - cotg[(n-1)/n]π = cotg(π/n)
remarque : on aurait pu se dispenser de ce calcul, les pentes des droites A1A3 et A2A2n-2, symétriques par rapport à un axe vertical passant par Q, étant opposées.
et b, à partir de A2
b = sin(π/n) – cotg(π/n)*cos(π/n) = [sin2(π/n) – cos2(π/n)]/sin(π/n) = - cos(2π/n)/sin(π/n) L’équation de la droite A2A2n-2 est : Y = cotg(π/n)*X - cos(2π/n)/sin(π/n)
Le point Q, intersection des droites A1A3 et A2A2n-2 a pour coordonnées : XQ = [cos(3π/2n)*cos(π/2n)] / cos(π/n)
YQ = [sin(3π/2n)*sin(π/2n)]/ sin(π/n)
Si YP = 2YQ, le triangle OPQ est isocèle, avec OQ = PQ Vérifions si cette condition est remplie :
Nous avons
YP = sin[3/2n]π/ cos(π/2n)
YQ = [sin(3π/2n)*sin(π/2n)]/ sin(π/n)
sin[3/2n]π/ cos(π/2n) = 2*[sin(3π/2n)*sin(π/2n)]/ sin(π/n) soit : sin(π/n) = 2cos(π/2n)sin(π/2n), relation bien connue Le triangle OPQ est isocèle (CQFD)
