D 291. À la croisée des chemins. ****
Zig part du sommet A1 d'un polygone régulier A1A2A3...A2n de 2n côtés et de centre O. Il parcourt en ligne droite la diagonale A1A3, puis la diagonale A3An, puis le côté AnAn-1, puis la diagonale An-1A2 qui croise la diagonale A3An au point P, puis la diagonale A2A2n-2 qui croise la diagonale A1A3 au point Q.
Démontrer que le triangle QOP est isocèle de sommet Q.
Démonstration proposée par Michel Lafond.
[En supposant pour que les diagonales aient un sens]
Notons (C) le cercle de rayon 1 et .
Les 2n sommets ont pour coordonnées pour k {0, 1, …, 2n – 1} = E.
Lemme : [Voir la figure ci-dessus]
Si sont deux sommets distincts du polygone, avec a et b deux
entiers distincts de E,. Alors la droite AB a pour équation
. La démonstration du lemme est élémentaire.
A B
x y
(C)
A0 A1 A2
A3
A2n – 1 A2n – 2 An
An – 1
An – 2
O
P
Les coordonnées de Q sont faciles à calculer [Voir la figure ci-dessus] :
Q est sur la verticale d’équation et sur la droite d’équation (d’après le lemme)
Donc les coordonnées de Q sont
On a après quelques transformations simples
Et, après quelques calculs
Soit, après simplification par
Pour les coordonnées de P, procédons ainsi :
Après une rotation de centre O et d’angle dans le sens horaire, les droites A2 An – 1 et A3 An deviennent A1 An – 2 et A2 An – 1. Dans cette rotation, P vient en P’ [Voir la figure ci-dessous] :
P’ a pour abscisse 0 et P’ est sur la droite A1 An – 2 d’équation
Donc les coordonnées de P’ sont :
A0
A1
A2 A3
A2n – 1
A2n – 2
An
An – 1
An – 2
O P’
Les coordonnées de P se déduisent de celles de P’ par la rotation inverse de la précédente, de centre O et d’angle dans le sens direct, ce sont donc
En posant on a ce qui permet d’exprimer les coordonnées de P et Q en fonction de t seul, après des calculs pas toujours drôles :
Le but étant de montrer que QO = QP, on peut effectuer une homothétie de centre O et de rapport pour arriver aux points O, P’’, Q’’ de coordonnées (après développement) :
On en tire les coordonnées des vecteurs P’’Q’’ et OQ’’ :
Les carrés des normes de ces deux vecteurs sont égales à
CQFD.
Une démonstration purement géométrique serait bienvenue…
