A4931. L'entier et son double mime MB
Déterminer le plus petit entier M tel qu’il existe une première suite de n entiers consécutifs positifs dont la somme des carrés est égal à M et une deuxième suite de 2n entiers consécutifs positifs dont la somme des carrés est égal à 2M.
On applique la formule ∑k de 1 à n (k²) = n(n+1)(2n+1)/6 pour factoriser l’expression : .
On obtient l’équation diophantienne :2k² – k(2a – 4b + 1) – 2(a² – b² –a + b) = 0 k est pair k=2 b²+ 3b – a²– a + 3 = 0
k=4 b²+ 7b – a²– 3a + 14 = 0 k=6 b²+ 11b – a²– 5a + 33 = 0 k=8 b²+ 15b – a²– 7a + 60 = 0 k=10 b²+ 19b – a²– 9a + 95 = 0 k=12 b²+ 23b – a²– 11a + 138 = 0
Pour k = 2,4,6,8,10, l’équation n’admet pas de solution avec a et b strictement positifs.
Pour k = 12 on trouve la solution (a, b) = (13, 6)
Donc M = 4250
