A4931. L'entier et son double mime
Déterminer le plus petit entier M tel qu’il existe une première suite de n entiers consécutifs positifs dont la somme des carrés est égal à M et une deuxième suite de 2n entiers consécutifs positifs dont la somme des carrés est égal à 2M.
SOLUTION
On sait que la somme des carrés de 𝑛 entiers consécutifs, le plus petit étant 𝑎 est égale à : 𝒏𝒂𝟐+ 𝒏(𝒏 − 𝟏)𝒂 +𝟏
𝟔(𝒏 − 𝟏)𝒏(𝟐𝒏 − 𝟏).
Soient : 𝑆6 = 8 𝑘:
;<=>6
?@;
= 𝑛𝑎:+ 𝑛(𝑛 − 1)𝑎 +1
6(𝑛 − 1)𝑛(2𝑛 − 1) et 𝑆: = 8 𝑘:
D<:=>6
?@D
= 2𝑛𝑏:+ 2𝑛(2𝑛 − 1)𝑏 +1
6(2𝑛 − 1)2𝑛(4𝑛 − 1) On cherche à résoudre l’équation 𝑆: = 2𝑆6, soit :
2𝑛𝑏:+ 2𝑛(2𝑛 − 1)𝑏 +1
6(2𝑛 − 1)2𝑛(4𝑛 − 1) =𝟐𝑛𝑎:+𝟐𝑛(𝑛 − 1)𝑎 +1
6(𝑛 − 1)𝟐𝑛(2𝑛 − 1)
÷:=HI 𝑏:+ (2𝑛 − 1)𝑏 +1
6(2𝑛 − 1)(4𝑛 − 1) = 𝑎:+ (𝑛 − 1)𝑎 +1
6(𝑛 − 1)(2𝑛 − 1)
⟺ 1
6(2𝑛 − 1)(4𝑛 − 1) −1
6(𝑛 − 1)(2𝑛 − 1) = 𝑎:+ (𝑛 − 1)𝑎 − 𝑏: − (2𝑛 − 1)𝑏𝑛
⟺ 1
6(2𝑛 − 1)[(4𝑛 − 1) − (𝑛 − 1)] = 𝑎: − 𝑏: + (𝑛 − 1)𝑎 − (2𝑛 − 1)𝑏
⟺ 1
2(2𝑛 − 1)𝑛 = 𝑎:− 𝑏:+ (𝑛 − 1)𝑎 − (2𝑛 − 1)𝑏
⇔ 𝟐[𝒂×: 𝟐− 𝒃𝟐+ (𝒏 − 𝟏)𝒂 − (𝟐𝒏 − 𝟏)𝒃] = (𝟐𝒏 − 𝟏)𝒏 On en déduit que 𝑛 est pair.
Par ailleurs, on peut transformer cette équation en une équation du 2nd degré d’inconnue 𝑛.
Après calcul, on trouve :
𝟐𝒏𝟐− (𝟐𝒂 − 𝟒𝒃 + 𝟏)𝒏 + 𝟐(𝒃𝟐− 𝒂𝟐+ 𝒂 − 𝒃) = 𝟎
Son discriminant est : Δ = (2𝑎 − 4𝑏 + 1):− 16(𝑏:− 𝑎:+ 𝑎 − 𝑏) = ⋯ = (𝟐𝒂 − 𝟏)(𝟏𝟎𝒂 − 𝟖𝒃 − 𝟏) On a donc nécessairement 10𝑎 − 8𝑏 − 1 ≥ 0 ⟺ 𝒃 <𝟏𝟎𝒂 − 𝟏
𝟖 .
Ensuite, la résolution de cette équation a été faite à l’aide d’un petit programme Python :
Ainsi :
𝐋𝐚 𝐩𝐥𝐮𝐬 𝐩𝐞𝐭𝐢𝐭𝐞 𝐯𝐚𝐥𝐞𝐮𝐫 𝐩𝐨𝐬𝐬𝐢𝐛𝐥𝐞 𝐝𝐞 𝑴 𝐞𝐬𝐭 𝟒 𝟐𝟓𝟎, obtenue pour 𝑛 = 12 : 8 𝑘:
:u
?@v
= 2 8 𝑘:
:w
?@6x
= 8 500
