(c) Quelle est la probabilité que la boule noire n’apparaisse jamais

ECE1 Année 2018-2019

Fiche d’exercices : PROBABILITES SUR UN ENSEMBLE INFINI

Exercice 1 :

On considère une urne contenant initialement 3 boules blanches et 1 boule noire. On effectue des tirages indéfiniment dans cette urne selon 3 modalités différentes.

Pour tout entierk supérieur à 1, on noteB_k l’évènement « on tire une boule blanche lors duk-ième tirage.

1. Première modalité de tirage : A chaque tirage, on tire une boule puis on la remet dans l’urne.

(a) Soit n∈N^∗. Quelle est la probabilité que la boule noire apparaisse pour la première fois aun-ième tirage.

(b) Soit n ∈ N^∗. Déterminer de deux manières différentes la probabilité que la boule noire apparaisse au plus tard aun-ième tirage.

(c) Quelle est la probabilité que la boule noire n’apparaisse jamais.

2. Deuxième modalité de tirage : A chaque tirage, on tire une boule puis on la remet en rajoutant une boule de la même couleur que celle tirée.

Quelle est la probabilité que la boule noire n’apparaisse jamais.

3. Troisième modalité de tirage:

A chaque tirage, on tire une boule puis on rajoute un certain nombre de boules de la même couleur suivant la règle suivante : si on est avant le n-ième tirage, on en rajoute 2n+ 1 (a) Montrer que le nombre de boules dans l’urne avant len-ième tirage est (n+ 1)². (b) Soitk∈N^∗, en déduire PB1∩···∩Bk−1(B_k) en fonction dek.

(c) Pour toutn∈N^∗, on note p_n=

n

\

k=1

B_k. Montrer que :

p_n=

n

Y

k=1

(k+ 1)²−1 (k+ 1)²

(d) Montrer que, pour toutk∈N^∗, (k+ 1)²−1

(k+ 1)² = u_k+1

u_k où u_k = k+ 1 k

(e) Déduisezp_n puis la probabilité de ne jamais obtenir la boule noire.

Exercice 2 :

On considère deux piècesAetB.Adonne Pile avec la probabilité ¹₄ etBdonne pile avec la probabilité

1 2.

On choisit une pièce au hasard et on la lance : si on obtient Pile, on relance la même pièce, sinon on lance l’autre pièce.

Pour tout n∈N^∗ on note p_n la probabilité de lancerA aun-ème lancer.

1. Exprimerp_n+1 en fonction dep_n.

2. En déduire une expression dep_npuis en déduire la limite de cette probabilité lorsquen→+∞

3. Quelle est la probabilité d’obtenir Pile au n-ième lancer ? 1

Exercice 3 : Inégalité de Boole

1. Montrer l’inégalité de Boole :

∀n∈N^∗, P

n

[

k=1

Ak

! 6

n

X

k=1

P(Ak)

2. En déduire que, si trois évènements A,B,C sont équiprobables, de même probabilité p et vérifiant P(A∩B∩C) = 0 alorsp6 ²₃.

Exercice 4 :

On a une pièce donnant Pile avec la probabilité ²₃ et on la lance indéfiniment.

Pour tout entier nsupérieur à 2, on noteAnl’évènement : « on obtient la séquence Pile-Pile pour la première fois aux (n−1)-ième etn-ième lancers »

Pour n>2, on notepn=P(An).

1. Déterminer p2,p3 etp4.

2. On supposen>3. En distinguant les cas des deux premiers lancers, établir une relation entre pn,pn−1 etpn−2.

3. Déterminer alors le terme général de p_n et calculer

+∞

X

n=2

p_n. Que peut-on en déduire ? Exercice 5 :

A l’instant t = 0, un mobile M se trouve au point d’abscisse entière k tel que 0 6 k 6 n, sur un segment gradué de 0 à n. A chaque seconde, il se déplace d’une unité vers la droite avec une probabilité p, où0< p <1 etp6= ¹₂, d’une unité vers la gauche avec une probabilitéq= 1−p.

Il s’arrête dès qu’il a atteint l’une des extrémités du segment.

1. Soit u_k la probabilité que la particule, partant dek s’arrête en 0.

(a) Détermineru0 etun.

(b) Pour k distinct de 0 et de n, trouver une relation entre u_k, uk−1 etu_k+1 en considérant l’évènementE : « le mobile finit sa course en 0 »

2. Déterminer la probabilité que la particule s’arrête en 0.

3. Déterminer la probabilité que la particule s’arrête en n.

4. Quelle est la probabilité que le mouvement ne se termine jamais

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